MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modprmn0modprm0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modprmn0modprm0 15734
Description: For an integer not being 0 modulo a given prime number and a nonnegative integer less than the prime number, there is always a second nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of this second nonnegative integer multiplied with the integer and the first nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
modprmn0modprm0 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐼   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗

Proof of Theorem modprmn0modprm0
StepHypRef Expression
1 simpl1 1228 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 prmnn 15610 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3 zmodfzo 12907 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
42, 3sylan2 492 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
54ancoms 468 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
653adant3 1127 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
7 fzo1fzo0n0 12733 . . . . . . . 8 ((𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃) ↔ ((𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃) ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0))
87simplbi2com 658 . . . . . . 7 ((𝑁 mod 𝑃) ≠ 0 → ((𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃)))
983ad2ant3 1130 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → ((𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃)))
106, 9mpd 15 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃))
1110adantr 472 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃))
12 simpr 479 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → 𝐼 ∈ (0..^𝑃))
13 nnnn0modprm0 15733 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = 0)
141, 11, 12, 13syl3anc 1477 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = 0)
15 elfzoelz 12684 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → 𝑗 ∈ ℤ)
1615zcnd 11695 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → 𝑗 ∈ ℂ)
172anim1i 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
1817ancomd 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
19 zmodcl 12904 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℕ0)
20 nn0cn 11514 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 mod 𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ)
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ)
22213adant3 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ)
2322adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ)
24 mulcom 10234 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ) → (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃)) = ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗))
2516, 23, 24syl2anr 496 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃)) = ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗))
2625oveq2d 6830 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) = (𝐼 + ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗)))
2726oveq1d 6829 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → ((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗)) mod 𝑃))
28 elfzoelz 12684 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℤ)
2928zred 11694 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℝ)
3029adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℝ)
3130adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℝ)
32 zre 11593 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
33323ad2ant2 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3433adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3534adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3615adantl 473 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑗 ∈ ℤ)
372nnrpd 12083 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
38373ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℝ+)
3938adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
4039adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
41 modaddmulmod 12951 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((𝐼 + ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (𝑁 · 𝑗)) mod 𝑃))
4231, 35, 36, 40, 41syl31anc 1480 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → ((𝐼 + ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (𝑁 · 𝑗)) mod 𝑃))
43 zcn 11594 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
4443adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℂ)
4516adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑗 ∈ ℂ)
4644, 45mulcomd 10273 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁))
4746ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁)))
48473ad2ant2 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁)))
4948adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁)))
5049imp 444 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁))
5150oveq2d 6830 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝐼 + (𝑁 · 𝑗)) = (𝐼 + (𝑗 · 𝑁)))
5251oveq1d 6829 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → ((𝐼 + (𝑁 · 𝑗)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃))
5327, 42, 523eqtrrd 2799 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → ((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃))
5453eqeq1d 2762 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = 0))
5554rexbidva 3187 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = 0))
5614, 55mpbird 247 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
5756ex 449 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  cn 11232  0cn0 11504  cz 11589  +crp 12045  ..^cfzo 12679   mod cmo 12882  cprime 15607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-dvds 15203  df-gcd 15439  df-prm 15608  df-phi 15693
This theorem is referenced by:  cshwsidrepsw  16022
  Copyright terms: Public domain W3C validator