MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modid 12910
Description: Identity law for modulo. (Contributed by NM, 29-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
modid (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem modid
StepHypRef Expression
1 modval 12885 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
21adantr 472 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
3 rerpdivcl 12075 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
43adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
54recnd 10281 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
6 addid2 10432 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (0 + (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
76fveq2d 6358 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
85, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
9 rpregt0 12060 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
10 divge0 11105 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
119, 10sylan2 492 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
1211an32s 881 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
1312adantrr 755 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
14 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
15 rpcn 12055 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ)
1615mulid1d 10270 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
1716adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
1814, 17breqtrrd 4833 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < (𝐵 · 1))
1918ad2ant2l 799 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 < (𝐵 · 1))
20 simpll 807 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
219ad2antlr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
22 1re 10252 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
23 ltdivmul 11111 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < (𝐵 · 1)))
2422, 23mp3an2 1561 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < (𝐵 · 1)))
2520, 21, 24syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < (𝐵 · 1)))
2619, 25mpbird 247 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) < 1)
27 0z 11601 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
28 flbi2 12833 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
2927, 4, 28sylancr 698 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
3013, 26, 29mpbir2and 995 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0)
318, 30eqtr3d 2797 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = 0)
3231oveq2d 6831 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) = (𝐵 · 0))
3315mul01d 10448 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 · 0) = 0)
3433ad2antlr 765 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · 0) = 0)
3532, 34eqtrd 2795 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) = 0)
3635oveq2d 6831 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = (𝐴 − 0))
37 recn 10239 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3837subid1d 10594 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3938ad2antrr 764 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
4036, 39eqtrd 2795 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = 𝐴)
412, 40eqtrd 2795 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140   class class class wbr 4805  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154   < clt 10287  cle 10288  cmin 10479   / cdiv 10897  cz 11590  +crp 12046  cfl 12806   mod cmo 12883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-inf 8517  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fl 12808  df-mod 12884
This theorem is referenced by:  modid2  12912  0mod  12916  1mod  12917  modabs  12918  muladdmodid  12925  m1modnnsub1  12931  modltm1p1mod  12937  2submod  12946  modifeq2int  12947  modaddmodlo  12949  modsubdir  12954  modsumfzodifsn  12958  digit1  13213  cshwidxm1  13774  bitsinv1  15387  sadaddlem  15411  sadasslem  15415  sadeq  15417  crth  15706  eulerthlem2  15710  prmdiveq  15714  modprm0  15733  4sqlem12  15883  dfod2  18202  znf1o  20123  wilthlem1  25015  ppiub  25150  lgslem1  25243  lgsdir2lem1  25271  lgsdirprm  25277  lgsqrlem2  25293  lgseisenlem1  25321  lgseisenlem2  25322  lgseisen  25325  m1lgs  25334  2lgslem1a1  25335  2lgslem4  25352  2sqlem11  25375  sqwvfoura  40967  sqwvfourb  40968  fourierswlem  40969  fouriersw  40970  m1modmmod  42845  nnpw2pmod  42906
  Copyright terms: Public domain W3C validator