MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modgcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modgcd 15300
Description: The gcd remains unchanged if one operand is replaced with its remainder modulo the other. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
modgcd ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁))

Proof of Theorem modgcd
StepHypRef Expression
1 zre 11419 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2 nnrp 11880 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
3 modval 12710 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑀 mod 𝑁) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
41, 2, 3syl2an 493 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 mod 𝑁) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
5 zcn 11420 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
65adantr 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
7 nncn 11066 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
87adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
9 nnre 11065 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
10 nnne0 11091 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
11 redivcl 10782 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
121, 9, 10, 11syl3an 1408 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
13123anidm23 1425 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
1413flcld 12639 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
1514zcnd 11521 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ)
16 mulneg1 10504 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))
17 mulcom 10060 . . . . . . . . . . . 12 (((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
1817negeqd 10313 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → -((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
1916, 18eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
2019ancoms 468 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
21203adant1 1099 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
2221oveq2d 6706 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁)) = (𝑀 + -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
23 mulcl 10058 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) ∈ ℂ)
24 negsub 10367 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) ∈ ℂ) → (𝑀 + -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
2523, 24sylan2 490 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ)) → (𝑀 + -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
26253impb 1279 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (𝑀 + -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
2722, 26eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁)) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
286, 8, 15, 27syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁)) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
294, 28eqtr4d 2688 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 mod 𝑁) = (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁)))
3029oveq2d 6706 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑀 mod 𝑁)) = (𝑁 gcd (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))))
3114znegcld 11522 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
32 nnz 11437 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3332adantl 481 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
34 simpl 472 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
35 gcdaddm 15293 . . . 4 ((-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑁 gcd (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))))
3631, 33, 34, 35syl3anc 1366 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑁 gcd (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))))
3730, 36eqtr4d 2688 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑀 mod 𝑁)) = (𝑁 gcd 𝑀))
38 zmodcl 12730 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
3938nn0zd 11518 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 mod 𝑁) ∈ ℤ)
40 gcdcom 15282 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 mod 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑀 mod 𝑁)) = ((𝑀 mod 𝑁) gcd 𝑁))
4133, 39, 40syl2anc 694 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑀 mod 𝑁)) = ((𝑀 mod 𝑁) gcd 𝑁))
42 gcdcom 15282 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
4333, 34, 42syl2anc 694 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
4437, 41, 433eqtr3d 2693 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  cz 11415  +crp 11870  cfl 12631   mod cmo 12708   gcd cgcd 15263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264
This theorem is referenced by:  eucalginv  15344  phimullem  15531  eulerthlem1  15533  pockthlem  15656  gcdmodi  15825  proththd  41856
  Copyright terms: Public domain W3C validator