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Theorem modfsummods 14569
Description: Induction step for modfsummod 14570. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
modfsummods ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑧,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem modfsummods
StepHypRef Expression
1 snssi 4371 . . 3 (𝑧𝐴 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
2 ssequn1 3816 . . . 4 ({𝑧} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴)
3 uncom 3790 . . . . . . . 8 ({𝑧} ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ {𝑧})
43eqeq1i 2656 . . . . . . 7 (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝑧}) = 𝐴)
5 sumeq1 14463 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵)
65oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁))
7 sumeq1 14463 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
87oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
96, 8eqeq12d 2666 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
109eqcoms 2659 . . . . . . 7 ((𝐴 ∪ {𝑧}) = 𝐴 → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
114, 10sylbi 207 . . . . . 6 (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
1211biimpd 219 . . . . 5 (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
1312a1d 25 . . . 4 (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
142, 13sylbi 207 . . 3 ({𝑧} ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
151, 14syl 17 . 2 (𝑧𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
16 df-nel 2927 . . 3 (𝑧𝐴 ↔ ¬ 𝑧𝐴)
17 simp1 1081 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ Fin)
1817ad2antlr 763 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝐴 ∈ Fin)
19 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑧𝐴)
2019adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑧𝐴)
21 vex 3234 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
2220, 21jctil 559 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝐴))
23 simplr3 1125 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
24 fsumsplitsnun 14528 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
2518, 22, 23, 24syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
2625oveq1d 6705 . . . . 5 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁))
27 ralunb 3827 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
28 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
2927, 28sylbi 207 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
30 fsumzcl2 14513 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
3129, 30sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
32313adant2 1100 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
3332adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
3433zred 11520 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
35 modfsummodslem1 14568 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
36353ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3736adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3837zred 11520 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
39 nnrp 11880 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
40393ad2ant2 1103 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
4140adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
42 modaddabs 12748 . . . . . . . . 9 ((Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁))
4334, 38, 41, 42syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁))
4443eqcomd 2657 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
4544adantr 480 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
46 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
4735zred 11520 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
48473ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
4948adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
5049, 41jca 553 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
5150adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
52 modabs2 12744 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
5352eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 ((𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) = ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
5451, 53syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) = ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
5546, 54oveq12d 6708 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
5655oveq1d 6705 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
5745, 56eqtrd 2685 . . . . 5 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
58 zmodcl 12730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
5958nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
6059expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
6160ralimdv 2992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
6261com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
6427, 63sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
6564impcom 445 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
66653adant1 1099 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
6717, 66jca 553 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
68 fsumzcl2 14513 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
6968zred 11520 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
7067, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
7170ad2antlr 763 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
7235anim1i 591 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
7372ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
74 zmodcl 12730 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
7675nn0red 11390 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
77763adant1 1099 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
7877ad2antlr 763 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
7940ad2antlr 763 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
80 modaddabs 12748 . . . . . . 7 ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
8171, 78, 79, 80syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
8260ralimdv 2992 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
8382imp 444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
84833adant1 1099 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
8584ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
86 fsumsplitsnun 14528 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)))
8718, 22, 85, 86syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)))
88 csbov1g 6730 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ V → 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
8921, 88mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
9089oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)))
9187, 90eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)))
9291eqcomd 2657 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
9392oveq1d 6705 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
9481, 93eqtrd 2685 . . . . 5 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
9526, 57, 943eqtrd 2689 . . . 4 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
9695exp31 629 . . 3 (𝑧𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
9716, 96sylbir 225 . 2 𝑧𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
9815, 97pm2.61i 176 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wnel 2926  wral 2941  Vcvv 3231  csb 3566  cun 3605  wss 3607  {csn 4210  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cr 9973   + caddc 9977  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  +crp 11870   mod cmo 12708  Σcsu 14460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461
This theorem is referenced by:  modfsummod  14570
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