MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  moddvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem moddvds 15038
Description: Two ways to say 𝐴𝐵 (mod 𝑁), see also definition in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
moddvds ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))

Proof of Theorem moddvds
StepHypRef Expression
1 nnrp 11880 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
3 0mod 12741 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑁) = 0)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 mod 𝑁) = 0)
54eqeq2d 2661 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = 0))
6 zre 11419 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
76ad2antrl 764 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8 zre 11419 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
98ad2antll 765 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
109renegcld 10495 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → -𝐵 ∈ ℝ)
11 modadd1 12747 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁))
12113expia 1286 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁)))
137, 9, 10, 2, 12syl22anc 1367 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁)))
147recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
159recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1614, 15negsubd 10436 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
1716oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴𝐵) mod 𝑁))
1815negidd 10420 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
1918oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
2017, 19eqeq12d 2666 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
2113, 20sylibd 229 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
227, 9resubcld 10496 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
23 0red 10079 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℝ)
24 modadd1 12747 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → (((𝐴𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁))
25243expia 1286 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)) → (((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (((𝐴𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁)))
2622, 23, 9, 2, 25syl22anc 1367 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (((𝐴𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁)))
2714, 15npcand 10434 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
2827oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
2915addid2d 10275 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
3029oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((0 + 𝐵) mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
3128, 30eqeq12d 2666 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((((𝐴𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
3226, 31sylibd 229 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
3321, 32impbid 202 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
34 zsubcl 11457 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
35 dvdsval3 15031 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝐴𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = 0))
3634, 35sylan2 490 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝐴𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = 0))
375, 33, 363bitr4d 300 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
38373impb 1279 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977  cmin 10304  -cneg 10305  cn 11058  cz 11415  +crp 11870   mod cmo 12708  cdvds 15027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fl 12633  df-mod 12709  df-dvds 15028
This theorem is referenced by:  summodnegmod  15059  modmulconst  15060  addmodlteqALT  15094  dvdsmod  15097  sadadd3  15230  sadaddlem  15235  congr  15425  cncongr1  15428  cncongr2  15429  crth  15530  eulerthlem2  15534  prmdiv  15537  prmdiveq  15538  odzcllem  15544  odzdvds  15547  odzphi  15548  modprm1div  15549  pockthlem  15656  4sqlem11  15706  4sqlem12  15707  mndodcong  18007  dfod2  18027  sylow3lem6  18093  znf1o  19948  wilthlem1  24839  wilthlem2  24840  wilthlem3  24841  wilthimp  24843  ppiub  24974  lgslem1  25067  lgsmod  25093  lgsdirprm  25101  lgsqrlem1  25116  lgsqrlem2  25117  lgsqr  25121  lgsqrmod  25122  lgsqrmodndvds  25123  lgsdchrval  25124  lgseisenlem2  25146  lgseisenlem3  25147  lgseisenlem4  25148  m1lgs  25158  sfprmdvdsmersenne  41845
  Copyright terms: Public domain W3C validator