MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modaddabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modaddabs 12916
Description: Absorption law for modulo. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
modaddabs ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝐶) + (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐶))

Proof of Theorem modaddabs
StepHypRef Expression
1 modcl 12880 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ)
21recnd 10270 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℂ)
323adant2 1125 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℂ)
4 modcl 12880 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ)
54recnd 10270 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℂ)
653adant1 1124 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℂ)
73, 6addcomd 10440 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) + (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)))
87oveq1d 6808 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝐶) + (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = (((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶))
9 simpl 468 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
104, 9jca 501 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
11103adant1 1124 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
12 simpr 471 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
131, 12jca 501 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
14133adant2 1125 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
15 modabs2 12912 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))
16153adant1 1124 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))
17 modadd1 12915 . . . 4 ((((𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐵 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶)) → (((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶))
1811, 14, 16, 17syl3anc 1476 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶))
19 recn 10228 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
20193ad2ant2 1128 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
213, 20addcomd 10440 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 mod 𝐶)))
2221oveq1d 6808 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶))
2318, 22eqtr4d 2808 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶) = (((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) mod 𝐶))
24 simpl 468 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
251, 24jca 501 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
26253adant2 1125 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
27 3simpc 1146 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
28 modabs2 12912 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐶))
29283adant2 1125 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐶))
30 modadd1 12915 . . 3 ((((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐶)) → (((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐶))
3126, 27, 29, 30syl3anc 1476 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐶))
328, 23, 313eqtrd 2809 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝐶) + (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137   + caddc 10141  +crp 12035   mod cmo 12876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fl 12801  df-mod 12877
This theorem is referenced by:  modfsummods  14732  numclwwlk5  27587  numclwwlk7  27590  fouriersw  40965  m1mod0mod1  41867
  Copyright terms: Public domain W3C validator