Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mod42tp1mod8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod42tp1mod8 41998
Description: If a number is 3 modulo 4, twice the number plus 1 is 7 modulo 8. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
mod42tp1mod8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7)

Proof of Theorem mod42tp1mod8
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn 11350 . . . . 5 4 ∈ ℕ
21a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℕ)
3 3nn0 11473 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℕ0)
5 3lt4 11360 . . . . 5 3 < 4
64, 5jctir 562 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 < 4))
7 modremain 15305 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 < 4)) → ((𝑁 mod 4) = 3 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁))
82, 6, 7mpd3an23 1563 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 4) = 3 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁))
9 2cnd 11256 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
10 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
11 4z 11574 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℤ)
1310, 12zmulcld 11651 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 4) ∈ ℤ)
1413zcnd 11646 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 4) ∈ ℂ)
15 3cn 11258 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 3 ∈ ℂ)
179, 14, 16adddid 10227 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = ((2 · (𝑧 · 4)) + (2 · 3)))
1810zcnd 11646 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℂ)
19 4cn 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℂ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℂ)
219, 18, 20mul12d 10408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 · 4)) = (𝑧 · (2 · 4)))
22 2cn 11254 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
23 4t2e8 11344 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 · 2) = 8
2419, 22, 23mulcomli 10210 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 4) = 8
2524oveq2i 6812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 · (2 · 4)) = (𝑧 · 8)
2621, 25syl6eq 2798 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · (𝑧 · 4)) = (𝑧 · 8))
27 3t2e6 11342 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 2) = 6
2815, 22, 27mulcomli 10210 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 3) = 6
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · 3) = 6)
3026, 29oveq12d 6819 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑧 · 4)) + (2 · 3)) = ((𝑧 · 8) + 6))
3117, 30eqtrd 2782 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = ((𝑧 · 8) + 6))
3231oveq1d 6816 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = (((𝑧 · 8) + 6) + 1))
33 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℤ)
34 8nn 11354 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ ℕ
3534nnzi 11564 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ ℤ
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℤ)
3733, 36zmulcld 11651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · 8) ∈ ℤ)
3837zcnd 11646 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 · 8) ∈ ℂ)
39 6cn 11265 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → 6 ∈ ℂ)
41 1cnd 10219 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
4238, 40, 41addassd 10225 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + (6 + 1)))
43 6p1e7 11319 . . . . . . . . . . . 12 (6 + 1) = 7
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → (6 + 1) = 7)
4544oveq2d 6817 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 · 8) + (6 + 1)) = ((𝑧 · 8) + 7))
4642, 45eqtrd 2782 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
4746adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 8) + 6) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
4832, 47eqtrd 2782 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = ((𝑧 · 8) + 7))
4948oveq1d 6816 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((𝑧 · 8) + 7) mod 8))
50 nnrp 12006 . . . . . . . . 9 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
5134, 50mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ+)
52 0xr 10249 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
5352a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ*)
54 8re 11268 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
5554rexri 10260 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℝ*
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ*)
57 7re 11266 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℝ
5857rexri 10260 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℝ*
5958a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ*)
60 0re 10203 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
61 7pos 11283 . . . . . . . . . . 11 0 < 7
6260, 57, 61ltleii 10323 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 7
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 0 ≤ 7)
64 7lt8 11378 . . . . . . . . . 10 7 < 8
6564a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 7 < 8)
6653, 56, 59, 63, 65elicod 12388 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℤ → 7 ∈ (0[,)8))
67 muladdmodid 12875 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 7 ∈ (0[,)8)) → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
6851, 66, 67mpd3an23 1563 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
6968adantl 473 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 8) + 7) mod 8) = 7)
7049, 69eqtrd 2782 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7)
71 oveq2 6809 . . . . . . . 8 (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (2 · ((𝑧 · 4) + 3)) = (2 · 𝑁))
7271oveq1d 6816 . . . . . . 7 (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → ((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
7372oveq1d 6816 . . . . . 6 (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = (((2 · 𝑁) + 1) mod 8))
7473eqeq1d 2750 . . . . 5 (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → ((((2 · ((𝑧 · 4) + 3)) + 1) mod 8) = 7 ↔ (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
7570, 74syl5ibcom 235 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
7675rexlimdva 3157 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 4) + 3) = 𝑁 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
778, 76sylbid 230 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 4) = 3 → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7))
7877imp 444 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑁) + 1) mod 8) = 7)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wrex 3039   class class class wbr 4792  (class class class)co 6801  cc 10097  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   · cmul 10104  *cxr 10236   < clt 10237  cle 10238  cn 11183  2c2 11233  3c3 11234  4c4 11235  6c6 11237  7c7 11238  8c8 11239  0cn0 11455  cz 11540  +crp 11996  [,)cico 12341   mod cmo 12833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-ico 12345  df-fz 12491  df-fl 12758  df-mod 12834  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-dvds 15154
This theorem is referenced by:  sgprmdvdsmersenne  42000
  Copyright terms: Public domain W3C validator