MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod1ile Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod1ile 17313
Description: The weak direction of the modular law (e.g., pmod1i 35657, atmod1i1 35666) that holds in any lattice. (Contributed by NM, 11-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
modle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
modle.l = (le‘𝐾)
modle.j = (join‘𝐾)
modle.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
mod1ile ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑍 → (𝑋 (𝑌 𝑍)) ((𝑋 𝑌) 𝑍)))

Proof of Theorem mod1ile
StepHypRef Expression
1 simpll 750 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simplr1 1260 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → 𝑋𝐵)
3 simplr2 1262 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → 𝑌𝐵)
4 modle.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 modle.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
6 modle.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
74, 5, 6latlej1 17268 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 (𝑋 𝑌))
81, 2, 3, 7syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → 𝑋 (𝑋 𝑌))
9 simpr 471 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → 𝑋 𝑍)
104, 6latjcl 17259 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
111, 2, 3, 10syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
12 simplr3 1264 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → 𝑍𝐵)
13 modle.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
144, 5, 13latlem12 17286 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑋 𝑍) ↔ 𝑋 ((𝑋 𝑌) 𝑍)))
151, 2, 11, 12, 14syl13anc 1478 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → ((𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑋 𝑍) ↔ 𝑋 ((𝑋 𝑌) 𝑍)))
168, 9, 15mpbi2and 691 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → 𝑋 ((𝑋 𝑌) 𝑍))
174, 5, 6, 13latmlej12 17299 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵𝑋𝐵)) → (𝑌 𝑍) (𝑋 𝑌))
181, 3, 12, 2, 17syl13anc 1478 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → (𝑌 𝑍) (𝑋 𝑌))
194, 5, 13latmle2 17285 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) 𝑍)
201, 3, 12, 19syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → (𝑌 𝑍) 𝑍)
214, 13latmcl 17260 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
221, 3, 12, 21syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
234, 5, 13latlem12 17286 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑌 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵)) → (((𝑌 𝑍) (𝑋 𝑌) ∧ (𝑌 𝑍) 𝑍) ↔ (𝑌 𝑍) ((𝑋 𝑌) 𝑍)))
241, 22, 11, 12, 23syl13anc 1478 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → (((𝑌 𝑍) (𝑋 𝑌) ∧ (𝑌 𝑍) 𝑍) ↔ (𝑌 𝑍) ((𝑋 𝑌) 𝑍)))
2518, 20, 24mpbi2and 691 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → (𝑌 𝑍) ((𝑋 𝑌) 𝑍))
264, 13latmcl 17260 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵)
271, 11, 12, 26syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵)
284, 5, 6latjle12 17270 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∧ (𝑌 𝑍) ((𝑋 𝑌) 𝑍)) ↔ (𝑋 (𝑌 𝑍)) ((𝑋 𝑌) 𝑍)))
291, 2, 22, 27, 28syl13anc 1478 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → ((𝑋 ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∧ (𝑌 𝑍) ((𝑋 𝑌) 𝑍)) ↔ (𝑋 (𝑌 𝑍)) ((𝑋 𝑌) 𝑍)))
3016, 25, 29mpbi2and 691 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → (𝑋 (𝑌 𝑍)) ((𝑋 𝑌) 𝑍))
3130ex 397 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑍 → (𝑋 (𝑌 𝑍)) ((𝑋 𝑌) 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  lecple 16156  joincjn 17152  meetcmee 17153  Latclat 17253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-poset 17154  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-lat 17254
This theorem is referenced by:  mod2ile  17314  hlmod1i  35665
  Copyright terms: Public domain W3C validator