Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  moantr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem moantr 34450
Description: Sufficient condition for transitivity of conjunctions inside existential quantifiers. (Contributed by Peter Mazsa, 2-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
moantr (∃*𝑥𝜓 → ((∃𝑥(𝜑𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒)) → ∃𝑥(𝜑𝜒)))

Proof of Theorem moantr
StepHypRef Expression
1 exancom 1936 . . . . . . 7 (∃𝑥(𝜑𝜓) ↔ ∃𝑥(𝜓𝜑))
21anbi1i 733 . . . . . 6 ((∃𝑥(𝜑𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒)) ↔ (∃𝑥(𝜓𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒)))
32anbi2i 732 . . . . 5 ((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒))) ↔ (∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜓𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒))))
4 3anass 1081 . . . . 5 ((∃*𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜓𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒)) ↔ (∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜓𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒))))
53, 4bitr4i 267 . . . 4 ((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒))) ↔ (∃*𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜓𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒)))
6 mopick2 2678 . . . 4 ((∃*𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜓𝜑) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒)) → ∃𝑥(𝜓𝜑𝜒))
75, 6sylbi 207 . . 3 ((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒))) → ∃𝑥(𝜓𝜑𝜒))
8 3anass 1081 . . . . 5 ((𝜓𝜑𝜒) ↔ (𝜓 ∧ (𝜑𝜒)))
98exbii 1923 . . . 4 (∃𝑥(𝜓𝜑𝜒) ↔ ∃𝑥(𝜓 ∧ (𝜑𝜒)))
10 exsimpr 1945 . . . 4 (∃𝑥(𝜓 ∧ (𝜑𝜒)) → ∃𝑥(𝜑𝜒))
119, 10sylbi 207 . . 3 (∃𝑥(𝜓𝜑𝜒) → ∃𝑥(𝜑𝜒))
127, 11syl 17 . 2 ((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒))) → ∃𝑥(𝜑𝜒))
13 impexp 461 . 2 (((∃*𝑥𝜓 ∧ (∃𝑥(𝜑𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒))) → ∃𝑥(𝜑𝜒)) ↔ (∃*𝑥𝜓 → ((∃𝑥(𝜑𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒)) → ∃𝑥(𝜑𝜒))))
1412, 13mpbi 220 1 (∃*𝑥𝜓 → ((∃𝑥(𝜑𝜓) ∧ ∃𝑥(𝜓𝜒)) → ∃𝑥(𝜑𝜒)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072  wex 1853  ∃*wmo 2608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-eu 2611  df-mo 2612
This theorem is referenced by:  trcoss  34555
  Copyright terms: Public domain W3C validator