MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfnei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnfnei 21006
Description: A neighborhood of -∞ contains an unbounded interval based at a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
mnfnei ((𝐴 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem mnfnei
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2620 . . . 4 ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) = ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞))
2 eqid 2620 . . . 4 ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) = ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))
3 eqid 2620 . . . 4 ran (,) = ran (,)
41, 2, 3leordtval 20998 . . 3 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,)))
54eleq2i 2691 . 2 (𝐴 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ↔ 𝐴 ∈ (topGen‘((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,))))
6 tg2 20750 . . 3 ((𝐴 ∈ (topGen‘((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,))) ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑢 ∈ ((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,))(-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴))
7 elun 3745 . . . . 5 (𝑢 ∈ ((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,)) ↔ (𝑢 ∈ (ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∨ 𝑢 ∈ ran (,)))
8 elun 3745 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ↔ (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∨ 𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))))
9 vex 3198 . . . . . . . . . 10 𝑢 ∈ V
10 eqid 2620 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞))
1110elrnmpt 5361 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ V → (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑦(,]+∞)))
129, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑦(,]+∞))
13 nltmnf 11948 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ 𝑦 < -∞)
14 pnfxr 10077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
15 elioc1 12202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞ ∈ (𝑦(,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ*𝑦 < -∞ ∧ -∞ ≤ +∞)))
1614, 15mpan2 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ* → (-∞ ∈ (𝑦(,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ*𝑦 < -∞ ∧ -∞ ≤ +∞)))
17 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ*𝑦 < -∞ ∧ -∞ ≤ +∞) → 𝑦 < -∞)
1816, 17syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* → (-∞ ∈ (𝑦(,]+∞) → 𝑦 < -∞))
1913, 18mtod 189 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ -∞ ∈ (𝑦(,]+∞))
20 eleq2 2688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (𝑦(,]+∞) → (-∞ ∈ 𝑢 ↔ -∞ ∈ (𝑦(,]+∞)))
2120notbid 308 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = (𝑦(,]+∞) → (¬ -∞ ∈ 𝑢 ↔ ¬ -∞ ∈ (𝑦(,]+∞)))
2219, 21syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑢 = (𝑦(,]+∞) → ¬ -∞ ∈ 𝑢))
2322rexlimiv 3023 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑦(,]+∞) → ¬ -∞ ∈ 𝑢)
2423pm2.21d 118 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑦(,]+∞) → (-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
2524adantrd 484 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑦(,]+∞) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
2612, 25sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
27 eqid 2620 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))
2827elrnmpt 5361 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ V → (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (-∞[,)𝑦)))
299, 28ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (-∞[,)𝑦))
30 mnfxr 10081 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ ∈ ℝ*
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → -∞ ∈ ℝ*)
32 0xr 10071 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
33 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
34 ifcl 4121 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ*)
3532, 33, 34sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ*)
3614a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → +∞ ∈ ℝ*)
37 mnflt0 11944 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ < 0
38 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → -∞ ∈ 𝑢)
39 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → 𝑢 = (-∞[,)𝑦))
4038, 39eleqtrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → -∞ ∈ (-∞[,)𝑦))
41 elico1 12203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-∞ ∈ (-∞[,)𝑦) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -∞ ∧ -∞ < 𝑦)))
4230, 33, 41sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → (-∞ ∈ (-∞[,)𝑦) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -∞ ∧ -∞ < 𝑦)))
4340, 42mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → (-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -∞ ∧ -∞ < 𝑦))
4443simp3d 1073 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → -∞ < 𝑦)
45 breq2 4648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) → (-∞ < 0 ↔ -∞ < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)))
46 breq2 4648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) → (-∞ < 𝑦 ↔ -∞ < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)))
4745, 46ifboth 4115 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞ < 0 ∧ -∞ < 𝑦) → -∞ < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦))
4837, 44, 47sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → -∞ < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦))
4932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → 0 ∈ ℝ*)
50 xrmin1 11993 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 0)
5132, 33, 50sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 0)
52 0re 10025 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
53 ltpnf 11939 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ ℝ → 0 < +∞)
5452, 53mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → 0 < +∞)
5535, 49, 36, 51, 54xrlelttrd 11976 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) < +∞)
56 xrre2 11986 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∧ if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) < +∞)) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ)
5731, 35, 36, 48, 55, 56syl32anc 1332 . . . . . . . . . . . 12 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ)
58 xrmin2 11994 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 𝑦)
5932, 33, 58sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 𝑦)
60 df-ico 12166 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑐𝑐 < 𝑏)})
61 xrltletr 11973 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∧ if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 𝑦) → 𝑥 < 𝑦))
6260, 60, 61ixxss2 12179 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 𝑦) → (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)) ⊆ (-∞[,)𝑦))
6333, 59, 62syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)) ⊆ (-∞[,)𝑦))
64 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → 𝑢𝐴)
6539, 64eqsstr3d 3632 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → (-∞[,)𝑦) ⊆ 𝐴)
6663, 65sstrd 3605 . . . . . . . . . . . 12 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)) ⊆ 𝐴)
67 oveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) → (-∞[,)𝑥) = (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)))
6867sseq1d 3624 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) → ((-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)) ⊆ 𝐴))
6968rspcev 3304 . . . . . . . . . . . 12 ((if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ ∧ (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
7057, 66, 69syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
7170rexlimdvaa 3028 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (-∞[,)𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
7271com12 32 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (-∞[,)𝑦) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
7329, 72sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
7426, 73jaoi 394 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∨ 𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
758, 74sylbi 207 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
76 mnfnre 10067 . . . . . . . . . 10 -∞ ∉ ℝ
7776neli 2896 . . . . . . . . 9 ¬ -∞ ∈ ℝ
78 elssuni 4458 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ ran (,) → 𝑢 ran (,))
79 unirnioo 12258 . . . . . . . . . . 11 ℝ = ran (,)
8078, 79syl6sseqr 3644 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ ran (,) → 𝑢 ⊆ ℝ)
8180sseld 3594 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ran (,) → (-∞ ∈ 𝑢 → -∞ ∈ ℝ))
8277, 81mtoi 190 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ran (,) → ¬ -∞ ∈ 𝑢)
8382pm2.21d 118 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ran (,) → (-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
8483adantrd 484 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ran (,) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
8575, 84jaoi 394 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∨ 𝑢 ∈ ran (,)) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
867, 85sylbi 207 . . . 4 (𝑢 ∈ ((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,)) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
8786rexlimiv 3023 . . 3 (∃𝑢 ∈ ((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,))(-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
886, 87syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ (topGen‘((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,))) ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
895, 88sylanb 489 1 ((𝐴 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wrex 2910  Vcvv 3195  cun 3565  wss 3567  ifcif 4077   cuni 4427   class class class wbr 4644  cmpt 4720  ran crn 5105  cfv 5876  (class class class)co 6635  cr 9920  0cc0 9921  +∞cpnf 10056  -∞cmnf 10057  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060  (,)cioo 12160  (,]cioc 12161  [,)cico 12162  topGenctg 16079  ordTopcordt 16140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fi 8302  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-ioo 12164  df-ioc 12165  df-ico 12166  df-icc 12167  df-topgen 16085  df-ordt 16142  df-ps 17181  df-tsr 17182  df-top 20680  df-bases 20731
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator