MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfltd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnfltd 12162
Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mnfltd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mnfltd (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltd
StepHypRef Expression
1 mnfltd.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 mnflt 12161 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → -∞ < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2144   class class class wbr 4784  cr 10136  -∞cmnf 10273   < clt 10275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-xp 5255  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280
This theorem is referenced by:  infxrre  12370  caucvgrlem  14610  areacirclem5  33829  infleinflem2  40097  xrralrecnnge  40123  icoopn  40264  icomnfinre  40291  ressiocsup  40293  ressioosup  40294  preimaiocmnf  40300  limciccioolb  40365  limsupre  40385  limcresioolb  40387  limcleqr  40388  xlimmnfvlem1  40570  fourierdlem32  40867  fourierdlem46  40880  fourierdlem48  40882  fourierdlem49  40883  fourierdlem74  40908  fourierdlem88  40922  fourierdlem95  40929  fourierdlem103  40937  fourierdlem104  40938  fouriersw  40959  ioorrnopnxrlem  41037  hspdifhsp  41344  hspmbllem2  41355  pimltmnf2  41425  pimgtmnf2  41438  smfsuplem1  41531
  Copyright terms: Public domain W3C validator