Theorem mnfle 12162

Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mnfle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)

Proof of Theorem mnfle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltmnf 12156	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
2		mnfxr 10288	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3		xrlenlt 10295	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < -∞))
4	2, 3	mpan 708	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < -∞))
5	1, 4	mpbird 247	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  -∞cmnf 10264  ℝ^*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272

This theorem is referenced by:  ngtmnft  12190  xrre2  12194  xleadd1a  12276  xlt2add  12283  xsubge0  12284  xlesubadd  12286  xlemul1a  12311  supxrmnf  12340  elioc2  12429  iccmax  12442  xrsdsreclblem  19994  leordtvallem2  21217  lecldbas  21225  tgioo  22800  xrtgioo  22810  ioombl  23533  ismbfd  23606  degltlem1  24031  ply1rem  24122  xrdifh  29851  tpr2rico  30267  itg2gt0cn  33778  hbtlem2  38196  supxrgelem  40051  supxrge  40052  suplesup  40053  xrlexaddrp  40066  infxr  40081  infleinf  40086  mnfled  40107  eliocre  40237  fouriersw  40951