Theorem mndvcl 20419

Description: Tuple-wise additive closure in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
mndvcl.p	⊢ + = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mndvcl	⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼))

Proof of Theorem mndvcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndvcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		mndvcl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑀)
3	1, 2	mndcl 17522	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
4	3	3expb 1114	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
5	4	3ad2antl1 1201	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
6		elmapi 8047	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
7	6	3ad2ant2 1129	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
8		elmapi 8047	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
9	8	3ad2ant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
10		elmapex 8046	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
11	10	simprd 482	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
12	11	3ad2ant2 1129	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
13		inidm 3965	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
14	5, 7, 9, 12, 12, 13	off 7078	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌):𝐼⟶𝐵)
15		fvex 6363	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
16	1, 15	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
17		elmapg 8038	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ((𝑋 ∘𝑓 + 𝑌) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌):𝐼⟶𝐵))
18	16, 12, 17	sylancr 698	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → ((𝑋 ∘𝑓 + 𝑌) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌):𝐼⟶𝐵))
19	14, 18	mpbird 247	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ∘_𝑓 cof 7061   ↑_𝑚 cmap 8025  Basecbs 16079  +_gcplusg 16163  Mndcmnd 17515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-map 8027  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516

This theorem is referenced by:  ringvcl  20426  mamudi  20431  mamudir  20432