MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndrid 17513
Description: The identity element of a monoid is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
mndlrid.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p + = (+g𝐺)
mndlrid.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndrid ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem mndrid
StepHypRef Expression
1 mndlrid.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mndlrid.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 mndlrid.o . . 3 0 = (0g𝐺)
41, 2, 3mndlrid 17511 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
54simprd 482 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  0gc0g 16302  Mndcmnd 17495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496
This theorem is referenced by:  mndpfo  17515  issubmnd  17519  ress0g  17520  submnd0  17521  prdsidlem  17523  imasmnd  17529  mrcmndind  17567  gsumccat  17579  grprid  17654  mhmid  17737  mhmmnd  17738  mulgnn0dir  17772  cntzsubm  17968  oppgmnd  17984  lsmub1x  18261  gsumval3  18508  gsumzsplit  18527  srgbinomlem3  18742  mndvrid  20402  mndifsplit  20644  gsummatr01  20667  smadiadet  20678  pmatcollpw3fi1lem1  20793  chfacfscmulgsum  20867  chfacfpmmulgsum  20871  tsmssplit  22156  tsmsxp  22159  slmd0vrid  30085  gsummptres  30093
  Copyright terms: Public domain W3C validator