Theorem mndlid 17533

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndlid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 17532	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simpld 477	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  +_gcplusg 16164  0_gc0g 16323  Mndcmnd 17516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-0g 16325  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517

This theorem is referenced by:  issubmnd  17540  ress0g  17541  submnd0  17542  prdsidlem  17544  imasmnd  17550  0mhm  17580  mrcmndind  17588  gsumccat  17600  dfgrp2  17669  grplid  17674  dfgrp3  17736  mhmid  17758  mhmmnd  17759  mulgnn0p1  17774  mulgnn0z  17789  mulgnn0dir  17793  cntzsubm  17989  oppgmnd  18005  odmodnn0  18180  lsmub2x  18283  mulgnn0di  18452  gsumval3  18529  gsumzaddlem  18542  gsumzsplit  18548  srgbinomlem4  18764  dsmmacl  20308  mndvlid  20422  dmatmul  20526  mndifsplit  20665  tsmssplit  22177  omndmul2  30043  omndmul3  30044  slmd0vlid  30106  c0mgm  42438  c0mhm  42439  c0snmgmhm  42443  cznrng  42484  mndpsuppss  42681