Theorem mndidcl 17530

Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndidcl	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndidcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndidcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndidcl.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2761	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 3	mndid 17525	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	mgmidcl 17487	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ‘cfv 6050  Basecbs 16080  +_gcplusg 16164  0_gc0g 16323  Mndcmnd 17516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-0g 16325  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517

This theorem is referenced by:  mndpfo  17536  prdsidlem  17544  imasmnd  17550  idmhm  17566  mhmf1o  17567  issubmd  17571  submid  17573  0mhm  17580  mhmco  17584  mhmeql  17586  submacs  17587  mrcmndind  17588  prdspjmhm  17589  pwsdiagmhm  17591  pwsco1mhm  17592  pwsco2mhm  17593  gsumvallem2  17594  dfgrp2  17669  grpidcl  17672  mhmid  17758  mhmmnd  17759  mulgnn0cl  17780  mulgnn0z  17789  cntzsubm  17989  oppgmnd  18005  gex1  18227  mulgnn0di  18452  mulgmhm  18454  subcmn  18463  gsumval3  18529  gsumzcl2  18532  gsumzaddlem  18542  gsumzsplit  18548  gsumzmhm  18558  gsummpt1n0  18585  srgidcl  18739  srg0cl  18740  ringidcl  18789  gsummgp0  18829  pwssplit1  19282  dsmm0cl  20307  dsmmacl  20308  mndvlid  20422  mndvrid  20423  mdet0  20635  mndifsplit  20665  gsummatr01lem3  20686  pmatcollpw3fi1lem1  20814  tmdmulg  22118  tmdgsum  22121  tsms0  22167  tsmssplit  22177  tsmsxp  22180  submomnd  30041  omndmul2  30043  omndmul3  30044  omndmul  30045  ogrpinv0le  30047  slmdbn0  30092  slmdsn0  30095  slmd0vcl  30105  gsumle  30110  sibf0  30727  sitmcl  30744  pwssplit4  38180  c0mgm  42438  c0mhm  42439  c0snmgmhm  42443  c0snmhm  42444  mgpsumz  42670  mndpsuppss  42681  lco0  42745