Theorem mndcl 17522

Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndcl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 17521	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
2		mndcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mndcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mgmcl 17466	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1167	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +_gcplusg 16163  Mgmcmgm 17461  Mndcmnd 17515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-nul 4941

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-iota 6012  df-fv 6057  df-ov 6817  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516

This theorem is referenced by:  mnd4g  17528  mndpropd  17537  issubmnd  17539  prdsplusgcl  17542  imasmnd  17549  idmhm  17565  mhmf1o  17566  issubmd  17570  0mhm  17579  mhmco  17583  mhmeql  17585  submacs  17586  mrcmndind  17587  prdspjmhm  17588  pwsdiagmhm  17590  pwsco1mhm  17591  pwsco2mhm  17592  gsumccat  17599  gsumwmhm  17603  grpcl  17651  mhmmnd  17758  mulgnnclOLD  17778  mulgnn0cl  17779  mulgnndirOLD  17791  cntzsubm  17988  oppgmnd  18004  lsmssv  18278  frgp0  18393  frgpadd  18396  mulgnn0di  18451  mulgmhm  18453  gsumval3eu  18525  gsumval3  18528  gsumzcl2  18531  gsumzaddlem  18541  gsumzmhm  18557  gsummptfzcl  18588  srgcl  18732  srgacl  18744  srgbinomlem  18764  srgbinom  18765  ringcl  18781  ringpropd  18802  mndvcl  20419  mhmvlin  20425  mat2pmatghm  20757  pm2mpghm  20843  cpmadugsumlemF  20903  tsmsadd  22171  omndadd2d  30038  omndadd2rd  30039  slmdacl  30092  slmdvacl  30095  gsumncl  30944  c0mhm  42438  ofaddmndmap  42650  lincsum  42746