MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndass 17509
Description: A monoid operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mndcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndass ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem mndass
StepHypRef Expression
1 mndsgrp 17506 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ SGrp)
2 mndcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 mndcl.p . . 3 + = (+g𝐺)
42, 3sgrpass 17497 . 2 ((𝐺 ∈ SGrp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
51, 4sylan 561 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  SGrpcsgrp 17490  Mndcmnd 17501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-nul 4920
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-iota 5994  df-fv 6039  df-ov 6795  df-sgrp 17491  df-mnd 17502
This theorem is referenced by:  mnd32g  17512  mnd12g  17513  mnd4g  17514  issubmnd  17525  prdsmndd  17530  imasmnd  17535  mrcmndind  17573  gsumccat  17585  grpass  17638  mhmmnd  17744  mulgnndirOLD  17777  cntzsubm  17974  oppgmnd  17990  frgp0  18379  mulgnn0di  18437  gsumval3eu  18511  gsumval3  18514  srgass  18720  ringass  18771  mndvass  20414  chfacfscmulgsum  20884  chfacfpmmulgsum  20888  slmdass  30100  lidlmsgrp  42444  invginvrid  42666
  Copyright terms: Public domain W3C validator