Theorem mncn0 38180

Description: A monic polynomial is not zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mncn0	⊢ (𝑃 ∈ ( Monic ‘𝑆) → 𝑃 ≠ 0𝑝)

Proof of Theorem mncn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnccoe 38179	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ( Monic ‘𝑆) → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = 1)
2		coe0 24182	. . . . . . 7 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
3	2	fveq1i 6341	. . . . . 6 ⊢ ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)) = ((ℕ0 × {0})‘(deg‘0𝑝))
4		dgr0 24188	. . . . . . . 8 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
5		0nn0 11470	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	4, 5	eqeltri 2823	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘0𝑝) ∈ ℕ0
7		c0ex 10197	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
8	7	fvconst2 6621	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘0𝑝) ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘(deg‘0𝑝)) = 0)
9	6, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ0 × {0})‘(deg‘0𝑝)) = 0
10	3, 9	eqtri 2770	. . . . 5 ⊢ ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)) = 0
11		0ne1 11251	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
12	10, 11	eqnetri 2990	. . . 4 ⊢ ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)) ≠ 1
13		fveq2 6340	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (coeff‘𝑃) = (coeff‘0𝑝))
14		fveq2 6340	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = (deg‘0𝑝))
15	13, 14	fveq12d 6346	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)))
16	15	neeq1d 2979	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ≠ 1 ↔ ((coeff‘0𝑝)‘(deg‘0𝑝)) ≠ 1))
17	12, 16	mpbiri 248	. . 3 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ≠ 1)
18	17	necon2i 2954	. 2 ⊢ (((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = 1 → 𝑃 ≠ 0𝑝)
19	1, 18	syl 17	1 ⊢ (𝑃 ∈ ( Monic ‘𝑆) → 𝑃 ≠ 0𝑝)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920  {csn 4309   × cxp 5252  ‘cfv 6037  0cc0 10099  1c1 10100  ℕ₀cn0 11455  0_𝑝c0p 23606  coeffccoe 24112  degcdgr 24113   Monic cmnc 38172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587  df-0p 23607  df-ply 24114  df-coe 24116  df-dgr 24117  df-mnc 38174

This theorem is referenced by: (None)