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Theorem mirreu3 25770
Description: Existential uniqueness of the mirror point. Theorem 7.8 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirreu.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirreu.d = (dist‘𝐺)
mirreu.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirreu.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirreu.a (𝜑𝐴𝑃)
mirreu.m (𝜑𝑀𝑃)
Assertion
Ref Expression
mirreu3 (𝜑 → ∃!𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
Distinct variable groups:   ,𝑏   𝐴,𝑏   𝐼,𝑏   𝑀,𝑏   𝑃,𝑏   𝜑,𝑏
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑏)

Proof of Theorem mirreu3
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mirreu.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
21adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → 𝐴𝑃)
3 eqidd 2772 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → (𝑀 𝐴) = (𝑀 𝐴))
4 simpr 471 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → 𝐴 = 𝑀)
5 mirreu.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
6 mirreu.d . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
7 mirreu.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8 mirreu.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → 𝐺 ∈ TarskiG)
105, 6, 7, 9, 2, 2tgbtwntriv2 25603 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
114, 10eqeltrrd 2851 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
12 oveq2 6801 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐴 → (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴))
1312eqeq1d 2773 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐴 → ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ↔ (𝑀 𝐴) = (𝑀 𝐴)))
14 oveq1 6800 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐴 → (𝑏𝐼𝐴) = (𝐴𝐼𝐴))
1514eleq2d 2836 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐴 → (𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴)))
1613, 15anbi12d 616 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ ((𝑀 𝐴) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴))))
1716rspcev 3460 . . . . 5 ((𝐴𝑃 ∧ ((𝑀 𝐴) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴))) → ∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
182, 3, 11, 17syl12anc 1474 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → ∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
198ad3antrrr 709 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20 mirreu.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝑃)
2120ad3antrrr 709 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀𝑃)
22 simplrl 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏𝑃)
23 simprll 764 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴))
24 simpllr 760 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴 = 𝑀)
2524oveq2d 6809 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝐴) = (𝑀 𝑀))
2623, 25eqtrd 2805 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝑀))
275, 6, 7, 19, 21, 22, 21, 26axtgcgrid 25583 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 = 𝑏)
28 simplrr 763 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑐𝑃)
29 simprrl 766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴))
3029, 25eqtrd 2805 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝑐) = (𝑀 𝑀))
315, 6, 7, 19, 21, 28, 21, 30axtgcgrid 25583 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 = 𝑐)
3227, 31eqtr3d 2807 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 = 𝑐)
3332ex 397 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) → ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
3433ralrimivva 3120 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → ∀𝑏𝑃𝑐𝑃 ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
3518, 34jca 501 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → (∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏𝑃𝑐𝑃 ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
368adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑀) → 𝐺 ∈ TarskiG)
371adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑀) → 𝐴𝑃)
3820adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑀) → 𝑀𝑃)
395, 6, 7, 36, 37, 38, 38, 37axtgsegcon 25584 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑀) → ∃𝑏𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴)))
40 ancom 452 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴)) ↔ ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏)))
418adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
421adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝐴𝑃)
4320adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝑀𝑃)
44 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝑏𝑃)
455, 6, 7, 41, 42, 43, 44tgbtwncomb 25605 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝑃) → (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ↔ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
4645anbi2d 614 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝑃) → (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏)) ↔ ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
4740, 46syl5bb 272 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑃) → ((𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴)) ↔ ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
4847rexbidva 3197 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑏𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴)) ↔ ∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
4948adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑀) → (∃𝑏𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴)) ↔ ∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
5039, 49mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑀) → ∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
518ad3antrrr 709 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5220ad3antrrr 709 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀𝑃)
531ad3antrrr 709 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴𝑃)
54 simplrl 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏𝑃)
55 simplrr 763 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑐𝑃)
56 simpllr 760 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴𝑀)
57 simprlr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))
585, 6, 7, 51, 54, 52, 53, 57tgbtwncom 25604 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏))
59 simprrr 767 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))
605, 6, 7, 51, 55, 52, 53, 59tgbtwncom 25604 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
61 simprll 764 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴))
62 simprrl 766 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴))
635, 6, 7, 51, 52, 52, 53, 53, 54, 55, 56, 58, 60, 61, 62tgsegconeq 25602 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 = 𝑐)
6463ex 397 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) → ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
6564ralrimivva 3120 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑀) → ∀𝑏𝑃𝑐𝑃 ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
6650, 65jca 501 . . 3 ((𝜑𝐴𝑀) → (∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏𝑃𝑐𝑃 ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
6735, 66pm2.61dane 3030 . 2 (𝜑 → (∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏𝑃𝑐𝑃 ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
68 oveq2 6801 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝑐))
6968eqeq1d 2773 . . . 4 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ↔ (𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴)))
70 oveq1 6800 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏𝐼𝐴) = (𝑐𝐼𝐴))
7170eleq2d 2836 . . . 4 (𝑏 = 𝑐 → (𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))
7269, 71anbi12d 616 . . 3 (𝑏 = 𝑐 → (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))))
7372reu4 3552 . 2 (∃!𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ (∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏𝑃𝑐𝑃 ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
7467, 73sylibr 224 1 (𝜑 → ∃!𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  ∃!wreu 3063  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  distcds 16158  TarskiGcstrkg 25550  Itvcitv 25556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-nul 4923
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-iota 5994  df-fv 6039  df-ov 6796  df-trkgc 25568  df-trkgb 25569  df-trkgcb 25570  df-trkg 25573
This theorem is referenced by:  mircgr  25773  mirbtwn  25774  ismir  25775  mirf  25776  mireq  25781
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