MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirne 25783
Description: Mirror of non-center point cannot be the center point. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mirinv.b (𝜑𝐵𝑃)
mirne.1 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
mirne (𝜑 → (𝑀𝐵) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem mirne
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → (𝑀𝐵) = 𝐴)
21fveq2d 6336 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → (𝑀‘(𝑀𝐵)) = (𝑀𝐴))
3 mirval.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 mirval.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
5 mirval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 mirval.l . . . . . 6 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7 mirval.s . . . . . 6 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8 mirval.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
9 mirval.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
10 mirfv.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑆𝐴)
11 mirinv.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
123, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11mirmir 25778 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝐵)) = 𝐵)
1312adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → (𝑀‘(𝑀𝐵)) = 𝐵)
14 eqid 2771 . . . . . 6 𝐴 = 𝐴
153, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 9mirinv 25782 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀𝐴) = 𝐴𝐴 = 𝐴))
1614, 15mpbiri 248 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐴) = 𝐴)
1716adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → (𝑀𝐴) = 𝐴)
182, 13, 173eqtr3d 2813 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → 𝐵 = 𝐴)
19 mirne.1 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐴)
2019adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → 𝐵𝐴)
2120neneqd 2948 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐴) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
2218, 21pm2.65da 818 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑀𝐵) = 𝐴)
2322neqned 2950 1 (𝜑 → (𝑀𝐵) ≠ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cfv 6031  Basecbs 16064  distcds 16158  TarskiGcstrkg 25550  Itvcitv 25556  LineGclng 25557  pInvGcmir 25768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-trkgc 25568  df-trkgb 25569  df-trkgcb 25570  df-trkg 25573  df-mir 25769
This theorem is referenced by:  sacgr  25943
  Copyright terms: Public domain W3C validator