MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirln 25791
Description: If two points are on the same line, so is the mirror point of one through the other. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirln.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mirln.1 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
mirln.a (𝜑𝐴𝐷)
mirln.b (𝜑𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
mirln (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem mirln
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
21fveq2d 6336 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝑀𝐴) = (𝑀𝐵))
3 mirval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 mirval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
5 mirval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 mirval.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8 mirval.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 mirln.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
11 mirln.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐷)
123, 6, 5, 8, 10, 11tglnpt 25664 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
1312adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝑃)
14 mirln.m . . . . 5 𝑀 = (𝑆𝐴)
153, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 14mircinv 25783 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝑀𝐴) = 𝐴)
162, 15eqtr3d 2806 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝑀𝐵) = 𝐴)
1711adantr 466 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐷)
1816, 17eqeltrd 2849 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝑀𝐵) ∈ 𝐷)
198adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2012adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝑃)
21 mirln.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
223, 6, 5, 8, 10, 21tglnpt 25664 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
2322adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑃)
243, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 14, 23mircl 25776 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀𝐵) ∈ 𝑃)
25 simpr 471 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
263, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 14, 22mirbtwn 25773 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑀𝐵)𝐼𝐵))
2726adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑀𝐵)𝐼𝐵))
283, 5, 6, 19, 20, 23, 24, 25, 27btwnlng2 25735 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐵))
2910adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
3011adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐷)
3121adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝐷)
323, 5, 6, 19, 20, 23, 25, 25, 29, 30, 31tglinethru 25751 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝐵))
3328, 32eleqtrrd 2852 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀𝐵) ∈ 𝐷)
3418, 33pm2.61dane 3029 1 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  ran crn 5250  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  distcds 16157  TarskiGcstrkg 25549  Itvcitv 25555  LineGclng 25556  pInvGcmir 25767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494  df-concat 13496  df-s1 13497  df-s2 13801  df-s3 13802  df-trkgc 25567  df-trkgb 25568  df-trkgcb 25569  df-trkg 25572  df-cgrg 25626  df-mir 25768
This theorem is referenced by:  opphllem2  25860  opphllem4  25862  colhp  25882
  Copyright terms: Public domain W3C validator