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Theorem miriso 25760
Description: The point inversion function is an isometry, i.e. it is conserves congruence. Because it is also a bijection, it is also a motion. Theorem 7.13 of [Schwabhauser] p. 50. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
miriso.1 (𝜑𝑋𝑃)
miriso.2 (𝜑𝑌𝑃)
Assertion
Ref Expression
miriso (𝜑 → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))

Proof of Theorem miriso
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝑋 = 𝐴)
21oveq1d 6824 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝑌))
3 mirval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 mirval.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
5 mirval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 mirval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7 mirval.s . . . 4 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8 mirval.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 mirval.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1110adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐴𝑃)
12 mirfv.m . . . 4 𝑀 = (𝑆𝐴)
13 miriso.2 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑃)
1413adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝑌𝑃)
153, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14mircgr 25747 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → (𝐴 (𝑀𝑌)) = (𝐴 𝑌))
16 miriso.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑃)
1716adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝑋𝑃)
181eqcomd 2762 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐴 = 𝑋)
1918oveq2d 6825 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → (𝐴 𝐴) = (𝐴 𝑋))
203, 4, 5, 9, 11, 17tgbtwntriv1 25581 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
213, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 17, 11, 19, 20ismir 25749 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐴 = (𝑀𝑋))
2221oveq1d 6824 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → (𝐴 (𝑀𝑌)) = ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))
232, 15, 223eqtr2rd 2797 . 2 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
248adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2524ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2625ad6antr 779 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27 simplr 809 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → 𝑥𝑃)
2827ad6antr 779 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑥𝑃)
2916adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐴) → 𝑋𝑃)
3029ad8antr 787 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋𝑃)
3110adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → 𝐴𝑃)
3231ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → 𝐴𝑃)
3332ad6antr 779 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴𝑃)
3413adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → 𝑌𝑃)
3534ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → 𝑌𝑃)
3635ad6antr 779 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌𝑃)
37 simp-4r 827 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑧𝑃)
383, 4, 5, 6, 7, 24, 31, 12, 29mircl 25751 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
3938ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
4039ad6antr 779 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
413, 4, 5, 6, 7, 24, 31, 12, 34mircl 25751 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐴) → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
4241ad8antr 787 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
433, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 30mirbtwn 25748 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑋))
44 simp-7r 839 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴)))
4544simpld 477 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥))
463, 4, 5, 26, 40, 33, 30, 28, 43, 45tgbtwnexch3 25584 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
473, 4, 5, 26, 33, 30, 28, 46tgbtwncom 25578 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝑥𝐼𝐴))
483, 4, 5, 26, 40, 30, 28, 45tgbtwncom 25578 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝑥𝐼(𝑀𝑋)))
493, 4, 5, 26, 40, 33, 30, 43tgbtwncom 25578 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(𝑀𝑋)))
503, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 40, 48, 49tgbtwnexch2 25586 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼(𝑀𝑋)))
51 simpllr 817 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴)))
5251simpld 477 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧))
533, 4, 5, 26, 28, 33, 40, 37, 50, 52tgbtwnexch3 25584 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ (𝐴𝐼𝑧))
543, 4, 5, 26, 33, 40, 37, 53tgbtwncom 25578 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ (𝑧𝐼𝐴))
55 simp-4r 827 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → 𝑦𝑃)
5655ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑦𝑃)
573, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 36mirbtwn 25748 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑌))
58 simp-5r 831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴)))
5958simpld 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦))
603, 4, 5, 26, 42, 33, 36, 56, 57, 59tgbtwnexch3 25584 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝑦))
613, 4, 5, 26, 33, 36, 56, 60tgbtwncom 25578 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌 ∈ (𝑦𝐼𝐴))
623, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 30mircgr 25747 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 (𝑀𝑋)) = (𝐴 𝑋))
6358simprd 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))
643, 4, 5, 26, 36, 56, 30, 33, 63tgcgrcomlr 25570 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝑌) = (𝐴 𝑋))
6562, 64eqtr4d 2793 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 (𝑀𝑋)) = (𝑦 𝑌))
6651simprd 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))
673, 4, 5, 26, 33, 40, 37, 56, 36, 33, 53, 61, 65, 66tgcgrextend 25575 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑧) = (𝑦 𝐴))
6844simprd 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))
6968eqcomd 2762 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 𝐴) = (𝑋 𝑥))
703, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 33, 30, 28, 61, 46, 64, 69tgcgrextend 25575 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝐴) = (𝐴 𝑥))
7167, 70eqtr2d 2791 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑧))
723, 4, 5, 26, 33, 28, 33, 37, 71tgcgrcomlr 25570 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝐴) = (𝑧 𝐴))
7362eqcomd 2762 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑋) = (𝐴 (𝑀𝑋)))
743, 4, 5, 26, 33, 30, 33, 40, 73tgcgrcomlr 25570 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 𝐴) = ((𝑀𝑋) 𝐴))
75 simplr 809 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑡𝑃)
763, 4, 5, 26, 42, 36, 56, 59tgbtwncom 25578 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌 ∈ (𝑦𝐼(𝑀𝑌)))
773, 4, 5, 26, 42, 33, 36, 57tgbtwncom 25578 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑌𝐼(𝑀𝑌)))
783, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 42, 76, 77tgbtwnexch2 25586 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐼(𝑀𝑌)))
79 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴)))
8079simpld 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡))
813, 4, 5, 26, 56, 33, 42, 75, 78, 80tgbtwnexch3 25584 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ (𝐴𝐼𝑡))
823, 4, 5, 26, 33, 42, 75, 81tgbtwncom 25578 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ (𝑡𝐼𝐴))
833, 4, 5, 26, 30, 28, 36, 33, 68tgcgrcomlr 25570 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝑋) = (𝐴 𝑌))
843, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 36mircgr 25747 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 (𝑀𝑌)) = (𝐴 𝑌))
8583, 84eqtr4d 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝑋) = (𝐴 (𝑀𝑌)))
8679simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))
8786eqcomd 2762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 𝐴) = ((𝑀𝑌) 𝑡))
883, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 33, 42, 75, 47, 81, 85, 87tgcgrextend 25575 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝐴) = (𝐴 𝑡))
893, 4, 5, 26, 33, 75axtgcgrrflx 25556 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑡) = (𝑡 𝐴))
9088, 89eqtrd 2790 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝐴) = (𝑡 𝐴))
913, 4, 5, 26, 28, 33, 75, 33, 90tgcgrcomlr 25570 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑡))
9270, 91, 893eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝐴) = (𝑡 𝐴))
933, 4, 5, 26, 33, 42, 33, 36, 84tgcgrcomlr 25570 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑌) 𝐴) = (𝑌 𝐴))
9493eqcomd 2762 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 𝐴) = ((𝑀𝑌) 𝐴))
953, 4, 5, 26, 75, 37axtgcgrrflx 25556 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑡 𝑧) = (𝑧 𝑡))
96 simp-9r 847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋𝐴)
9796neneqd 2933 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ¬ 𝑋 = 𝐴)
9826adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9933adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴𝑃)
10030adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑋𝑃)
10146adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
102 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
103102oveq2d 6825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐴𝐼𝑥) = (𝐴𝐼𝐴))
104101, 103eleqtrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
1053, 4, 5, 98, 99, 100, 104axtgbtwnid 25560 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 = 𝑋)
106105eqcomd 2762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑋 = 𝐴)
10797, 106mtand 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
108107neqned 2935 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑥𝐴)
1093, 4, 5, 26, 28, 33, 40, 37, 50, 52tgbtwnexch 25588 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑧))
1103, 4, 5, 26, 56, 33, 42, 75, 78, 80tgbtwnexch 25588 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑡))
1113, 4, 5, 26, 56, 33, 75, 110tgbtwncom 25578 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑡𝐼𝑦))
1123, 4, 5, 26, 56, 33axtgcgrrflx 25556 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝐴) = (𝐴 𝑦))
11367, 112eqtrd 2790 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑧) = (𝐴 𝑦))
1143, 4, 5, 26, 28, 75axtgcgrrflx 25556 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝑡) = (𝑡 𝑥))
11591eqcomd 2762 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑡) = (𝐴 𝑥))
1163, 4, 5, 26, 28, 33, 37, 75, 33, 56, 75, 28, 108, 109, 111, 90, 113, 114, 115axtg5seg 25559 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑧 𝑡) = (𝑦 𝑥))
11795, 116eqtr2d 2791 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝑥) = (𝑡 𝑧))
1183, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 28, 75, 42, 33, 37, 61, 82, 92, 94, 117, 71tgifscgr 25598 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 𝑥) = ((𝑀𝑌) 𝑧))
1193, 4, 5, 26, 36, 28, 42, 37, 118tgcgrcomlr 25570 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝑌) = (𝑧 (𝑀𝑌)))
12084eqcomd 2762 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑌) = (𝐴 (𝑀𝑌)))
1213, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 36, 37, 40, 33, 42, 47, 54, 72, 74, 119, 120tgifscgr 25598 . . . . . . 7 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 𝑌) = ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))
122121eqcomd 2762 . . . . . 6 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
123 simp-6l 833 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → (𝜑𝑋𝐴))
124 simpllr 817 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴)))
12524ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
126 simplr 809 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → 𝑦𝑃)
12741ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
12829ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋𝑃)
12931ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴𝑃)
1303, 4, 5, 125, 126, 127, 128, 129axtgsegcon 25558 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → ∃𝑡𝑃 ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴)))
131123, 55, 124, 130syl21anc 1476 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → ∃𝑡𝑃 ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴)))
132122, 131r19.29a 3212 . . . . 5 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
1333, 4, 5, 25, 27, 39, 35, 32axtgsegcon 25558 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → ∃𝑧𝑃 ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴)))
134133ad2antrr 764 . . . . 5 ((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → ∃𝑧𝑃 ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴)))
135132, 134r19.29a 3212 . . . 4 ((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
1363, 4, 5, 24, 41, 34, 29, 31axtgsegcon 25558 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐴) → ∃𝑦𝑃 (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴)))
137136ad2antrr 764 . . . 4 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → ∃𝑦𝑃 (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴)))
138135, 137r19.29a 3212 . . 3 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
1393, 4, 5, 24, 38, 29, 34, 31axtgsegcon 25558 . . 3 ((𝜑𝑋𝐴) → ∃𝑥𝑃 (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴)))
140138, 139r19.29a 3212 . 2 ((𝜑𝑋𝐴) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
14123, 140pm2.61dane 3015 1 (𝜑 → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928  wrex 3047  cfv 6045  (class class class)co 6809  Basecbs 16055  distcds 16148  TarskiGcstrkg 25524  Itvcitv 25530  LineGclng 25531  pInvGcmir 25742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-card 8951  df-cda 9178  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-n0 11481  df-xnn0 11552  df-z 11566  df-uz 11876  df-fz 12516  df-hash 13308  df-trkgc 25542  df-trkgb 25543  df-trkgcb 25544  df-trkg 25547  df-mir 25743
This theorem is referenced by:  mirbtwni  25761  mircgrs  25763  mirmot  25765  miduniq  25775  ragcom  25788  colperpexlem1  25817  lmiisolem  25883  hypcgrlem2  25887  hypcgr  25888
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