Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirbtwnb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirbtwnb 25788
 Description: Point inversion preserves betweenness. Theorem 7.15 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
miriso.1 (𝜑𝑋𝑃)
miriso.2 (𝜑𝑌𝑃)
mirbtwnb.z (𝜑𝑍𝑃)
Assertion
Ref Expression
mirbtwnb (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ↔ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))))

Proof of Theorem mirbtwnb
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 mirval.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
98adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐴𝑃)
10 mirfv.m . . 3 𝑀 = (𝑆𝐴)
11 miriso.1 . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
1211adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋𝑃)
13 miriso.2 . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
1413adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌𝑃)
15 mirbtwnb.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑃)
1615adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑍𝑃)
17 simpr 471 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
181, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17mirbtwni 25787 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍)))
196adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
208adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → 𝐴𝑃)
211, 2, 3, 4, 5, 19, 20, 10mirf 25776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → 𝑀:𝑃𝑃)
2211adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → 𝑋𝑃)
2321, 22ffvelrnd 6503 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
2413adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → 𝑌𝑃)
2521, 24ffvelrnd 6503 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
2615adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → 𝑍𝑃)
2721, 26ffvelrnd 6503 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → (𝑀𝑍) ∈ 𝑃)
28 simpr 471 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍)))
291, 2, 3, 4, 5, 19, 20, 10, 23, 25, 27, 28mirbtwni 25787 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → (𝑀‘(𝑀𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀𝑍))))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13mirmir 25778 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝑌)) = 𝑌)
311, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11mirmir 25778 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝑋)) = 𝑋)
321, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 15mirmir 25778 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝑍)) = 𝑍)
3331, 32oveq12d 6811 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀𝑍))) = (𝑋𝐼𝑍))
3430, 33eleq12d 2844 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀𝑍))) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
3534adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → ((𝑀‘(𝑀𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀𝑍))) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
3629, 35mpbid 222 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
3718, 36impbida 802 1 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ↔ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  distcds 16158  TarskiGcstrkg 25550  Itvcitv 25556  LineGclng 25557  pInvGcmir 25768 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-s2 13802  df-s3 13803  df-trkgc 25568  df-trkgb 25569  df-trkgcb 25570  df-trkg 25573  df-cgrg 25627  df-mir 25769 This theorem is referenced by:  mirbtwnhl  25796
 Copyright terms: Public domain W3C validator