MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem1 27858
Description: Lemma for minveco 27868. The set of all distances from points of 𝑌 to 𝐴 are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem1 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝐽   𝑤,𝑀,𝑦   𝑤,𝑁,𝑦   𝜑,𝑤,𝑦   𝑤,𝑅   𝑤,𝐴,𝑦   𝑤,𝐷,𝑦   𝑤,𝑈,𝑦   𝑤,𝑊,𝑦   𝑤,𝑋   𝑤,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem1
StepHypRef Expression
1 minveco.r . . 3 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
2 minveco.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
3 phnv 27797 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
6 minveco.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
8 minveco.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
9 elin 3829 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
108, 9sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
1110simpld 474 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
12 minveco.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
13 minveco.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
14 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
1512, 13, 14sspba 27710 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
164, 11, 15syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
1716sselda 3636 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
18 minveco.m . . . . . . . 8 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
1912, 18nvmcl 27629 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
205, 7, 17, 19syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
21 minveco.n . . . . . . 7 𝑁 = (normCV𝑈)
2212, 21nvcl 27644 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
235, 20, 22syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
24 eqid 2651 . . . . 5 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
2523, 24fmptd 6425 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))):𝑌⟶ℝ)
26 frn 6091 . . . 4 ((𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))):𝑌⟶ℝ → ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) ⊆ ℝ)
2725, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) ⊆ ℝ)
281, 27syl5eqss 3682 . 2 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
2910simprd 478 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ CBan)
30 bnnv 27850 . . . . . 6 (𝑊 ∈ CBan → 𝑊 ∈ NrmCVec)
31 eqid 2651 . . . . . . 7 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
3213, 31nvzcl 27617 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec𝑊) ∈ 𝑌)
3329, 30, 323syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (0vec𝑊) ∈ 𝑌)
34 fvex 6239 . . . . . 6 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
3534, 24dmmpti 6061 . . . . 5 dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = 𝑌
3633, 35syl6eleqr 2741 . . . 4 (𝜑 → (0vec𝑊) ∈ dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
37 ne0i 3954 . . . 4 ((0vec𝑊) ∈ dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) ≠ ∅)
3836, 37syl 17 . . 3 (𝜑 → dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) ≠ ∅)
39 dm0rn0 5374 . . . . 5 (dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = ∅ ↔ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = ∅)
401eqeq1i 2656 . . . . 5 (𝑅 = ∅ ↔ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = ∅)
4139, 40bitr4i 267 . . . 4 (dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = ∅ ↔ 𝑅 = ∅)
4241necon3bii 2875 . . 3 (dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) ≠ ∅ ↔ 𝑅 ≠ ∅)
4338, 42sylib 208 . 2 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
4412, 21nvge0 27656 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
455, 20, 44syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
4645ralrimiva 2995 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
4734rgenw 2953 . . . . 5 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
48 breq2 4689 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
4924, 48ralrnmpt 6408 . . . . 5 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
5047, 49ax-mp 5 . . . 4 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
5146, 50sylibr 224 . . 3 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))0 ≤ 𝑤)
521raleqi 3172 . . 3 (∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))0 ≤ 𝑤)
5351, 52sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
5428, 43, 533jca 1261 1 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  cle 10113  MetOpencmopn 19784  NrmCVeccnv 27567  BaseSetcba 27569  0veccn0v 27571  𝑣 cnsb 27572  normCVcnmcv 27573  IndMetcims 27574  SubSpcss 27704  CPreHilOLDccphlo 27795  CBanccbn 27846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ssp 27705  df-ph 27796  df-cbn 27847
This theorem is referenced by:  minvecolem2  27859  minvecolem3  27860  minvecolem4c  27863  minvecolem4  27864  minvecolem5  27865  minvecolem6  27866
  Copyright terms: Public domain W3C validator