Theorem minveco 28074

Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace 𝑊 that minimizes the distance to an arbitrary vector 𝐴 in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
minveco	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minveco

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		minveco.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
3		minveco.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
4		minveco.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5		minveco.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
6		minveco.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
7		minveco.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		eqid 2770	. 2 ⊢ (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
9		eqid 2770	. 2 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))
10		oveq2 6800	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝐴𝑀𝑗) = (𝐴𝑀𝑦))
11	10	fveq2d 6336	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗)) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
12	11	cbvmptv 4882	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
13	12	rneqi 5490	. 2 ⊢ ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))) = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
14		eqid 2770	. 2 ⊢ inf(ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))), ℝ, < )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14	minvecolem7 28073	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∀wral 3060  ∃!wreu 3062   ∩ cin 3720   class class class wbr 4784   ↦ cmpt 4861  ran crn 5250  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  infcinf 8502  ℝcr 10136   < clt 10275   ≤ cle 10276  MetOpencmopn 19950  BaseSetcba 27775   −_𝑣 cnsb 27778  norm_CVcnmcv 27779  IndMetcims 27780  SubSpcss 27910  CPreHil_OLDccphlo 28001  CBanccbn 28052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cc 9458  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-rest 16290  df-topgen 16311  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-top 20918  df-topon 20935  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lm 21253  df-haus 21339  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-cfil 23271  df-cau 23272  df-cmet 23273  df-grpo 27681  df-gid 27682  df-ginv 27683  df-gdiv 27684  df-ablo 27733  df-vc 27748  df-nv 27781  df-va 27784  df-ba 27785  df-sm 27786  df-0v 27787  df-vs 27788  df-nmcv 27789  df-ims 27790  df-ssp 27911  df-ph 28002  df-cbn 28053

This theorem is referenced by:  pjhthlem2  28585