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Theorem minveclem4 23249
Description: Lemma for minvec 23253. The convergent point of the Cauchy sequence 𝐹 attains the minimum distance, and so is closer to 𝐴 than any other point in 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
minvec.p 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
minvec.t 𝑇 = (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))
Assertion
Ref Expression
minveclem4 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,   𝑥,𝑟,𝑦,𝐴   𝐽,𝑟,𝑥,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑟,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑋,𝑟,𝑥,𝑦   𝑌,𝑟,𝑥,𝑦   𝐷,𝑟,𝑥,𝑦   𝑆,𝑟,𝑥,𝑦   𝑇,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑟)   𝑅(𝑟)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem4
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3867 . . 3 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
2 minvec.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑈)
3 minvec.m . . . 4 = (-g𝑈)
4 minvec.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝑈)
5 minvec.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
6 minvec.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
7 minvec.w . . . 4 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
8 minvec.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
9 minvec.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
10 minvec.r . . . 4 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
11 minvec.s . . . 4 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
12 minvec.d . . . 4 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
13 minvec.f . . . 4 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
14 minvec.p . . . 4 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
152, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14minveclem4a 23247 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
161, 15sseldi 3634 . 2 (𝜑𝑃𝑌)
1712oveqi 6703 . . . . . . 7 (𝐴𝐷𝑃) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑃)
182, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14minveclem4b 23248 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝑋)
198, 18ovresd 6843 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑃) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑃))
2017, 19syl5eq 2697 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑃) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑃))
21 cphngp 23019 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
225, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ NrmGrp)
23 eqid 2651 . . . . . . . 8 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
244, 2, 3, 23ngpds 22455 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑃𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑃) = (𝑁‘(𝐴 𝑃)))
2522, 8, 18, 24syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(dist‘𝑈)𝑃) = (𝑁‘(𝐴 𝑃)))
2620, 25eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑃) = (𝑁‘(𝐴 𝑃)))
2726adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑃) = (𝑁‘(𝐴 𝑃)))
28 ngpms 22451 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
292, 12msmet 22309 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3022, 28, 293syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
31 metcl 22184 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑃𝑋) → (𝐴𝐷𝑃) ∈ ℝ)
3230, 8, 18, 31syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑃) ∈ ℝ)
3332adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑃) ∈ ℝ)
342, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem4c 23242 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
3534adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
3622adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
37 cphlmod 23020 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
385, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
3938adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
408adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
41 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
422, 41lssss 18985 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
436, 42syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
4443sselda 3636 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
452, 3lmodvsubcl 18956 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋)
4639, 40, 44, 45syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋)
472, 4nmcl 22467 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ℝ)
4836, 46, 47syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ℝ)
4934, 32ltnled 10222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷𝑃) ↔ ¬ (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆))
502, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13minveclem3b 23245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
51 fbsspw 21683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
53 sspwb 4947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑌𝑋 ↔ 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
5443, 53sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
5552, 54sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
56 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Base‘𝑈) ∈ V
572, 56eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑋 ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ∈ V)
59 fbasweak 21716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
6050, 55, 58, 59syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
62 fgcl 21729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
64 ssfg 21723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
6561, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
66 minvec.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑇 = (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))
6732, 34readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ∈ ℝ)
6867rehalfcld 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
6968resqcld 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) ∈ ℝ)
7034resqcld 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
7169, 70resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
7334, 32, 34ltadd1d 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷𝑃) ↔ (𝑆 + 𝑆) < ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆)))
7434recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
75742timesd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (2 · 𝑆) = (𝑆 + 𝑆))
7675breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((2 · 𝑆) < ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ (𝑆 + 𝑆) < ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆)))
77 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℝ
78 2pos 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 < 2
7977, 78pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
81 ltmuldiv2 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑆) < ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
8234, 67, 80, 81syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((2 · 𝑆) < ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
8373, 76, 823bitr2d 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷𝑃) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
842, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 23241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
8584simp3d 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
8684simp1d 1093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
8784simp2d 1094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
88 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ ℝ
89 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
9089ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
9190rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
9288, 85, 91sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
9388a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
94 infregelb 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
9586, 87, 92, 93, 94syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
9685, 95mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
9796, 11syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
98 metge0 22197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑃𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑃))
9930, 8, 18, 98syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑃))
10032, 34, 99, 97addge0d 10641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆))
101 divge0 10930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2))
10267, 100, 80, 101syl21anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2))
10334, 68, 97, 102lt2sqd 13083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑆 < (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ↔ (𝑆↑2) < ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2)))
10470, 69posdifd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑆↑2) < ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) ↔ 0 < (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))))
10583, 103, 1043bitrd 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷𝑃) ↔ 0 < (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))))
106105biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 0 < (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
10772, 106elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ+)
10866, 107syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
1096adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
110 rabexg 4844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ V)
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ V)
112 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
113 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑇 → ((𝑆↑2) + 𝑟) = ((𝑆↑2) + 𝑇))
114113breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑇 → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)))
115114rabbidv 3220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 = 𝑇 → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)})
116112, 115elrnmpt1s 5405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ V) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
117108, 111, 116syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
118117, 13syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ 𝐹)
11965, 118sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ (𝑋filGen𝐹))
120 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ⊆ 𝑋
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ⊆ 𝑋)
12266oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆↑2) + 𝑇) = ((𝑆↑2) + (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
12370ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
124123recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
12568ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
126125resqcld 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) ∈ ℝ)
127126recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) ∈ ℂ)
128124, 127pncan3d 10433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑆↑2) + (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))) = ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2))
129122, 128syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑆↑2) + 𝑇) = ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2))
130129breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2)))
13130ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
1328ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
13344adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
134 metcl 22184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
135131, 132, 133, 134syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
136 metge0 22197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑦))
137131, 132, 133, 136syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑦))
138102ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2))
139135, 125, 137, 138le2sqd 13084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2)))
140130, 139bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇) ↔ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
141140rabbidva 3219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} = {𝑦𝑌 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
14243adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑌𝑋)
143 rabss2 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑌𝑋 → {𝑦𝑌 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ⊆ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
144142, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ⊆ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
145141, 144eqsstrd 3672 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ⊆ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
146 filss 21704 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ({𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ (𝑋filGen𝐹) ∧ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ⊆ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (𝑋filGen𝐹))
14763, 119, 121, 145, 146syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (𝑋filGen𝐹))
148 flimclsi 21829 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (𝑋filGen𝐹) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘{𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}))
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘{𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}))
150 inss1 3866 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
151150, 15sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
152151adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑃 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
153149, 152sseldd 3637 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘{𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}))
154 ngpxms 22452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ ∞MetSp)
1552, 12xmsxmet 22308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
15622, 154, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
157156adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1588adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝐴𝑋)
15968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
160159rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ*)
161 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
162 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} = {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}
163161, 162blcld 22357 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋 ∧ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ*) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (Clsd‘(MetOpen‘𝐷)))
164157, 158, 160, 163syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (Clsd‘(MetOpen‘𝐷)))
1659, 2, 12xmstopn 22303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
16622, 154, 1653syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
167166adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
168167fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(MetOpen‘𝐷)))
169164, 168eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (Clsd‘𝐽))
170 cldcls 20894 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘{𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}) = {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → ((cls‘𝐽)‘{𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}) = {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
172153, 171eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑃 ∈ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
173 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑃 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑃))
174173breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑃 → ((𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
175174elrab 3396 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ↔ (𝑃𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
176175simprbi 479 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} → (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2))
177172, 176syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2))
17832, 34, 32leadd2d 10660 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆 ↔ ((𝐴𝐷𝑃) + (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆)))
17932recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑃) ∈ ℂ)
1801792timesd 11313 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝐴𝐷𝑃)) = ((𝐴𝐷𝑃) + (𝐴𝐷𝑃)))
181180breq1d 4695 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ ((𝐴𝐷𝑃) + (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆)))
182 lemuldiv2 10942 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝑃) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
18379, 182mp3an3 1453 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐷𝑃) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ∈ ℝ) → ((2 · (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
18432, 67, 183syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
185178, 181, 1843bitr2d 296 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆 ↔ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
186185biimpar 501 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆)
187177, 186syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆)
188187ex 449 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷𝑃) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆))
18949, 188sylbird 250 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆 → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆))
190189pm2.18d 124 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆)
191190adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆)
19286adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑅 ⊆ ℝ)
19392adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
194 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝑌)
195 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
196 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
197196elrnmpt1 5406 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑌 ∧ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
198194, 195, 197sylancl 695 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
199198, 10syl6eleqr 2741 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ 𝑅)
200 infrelb 11046 . . . . . . 7 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ∧ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
201192, 193, 199, 200syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
20211, 201syl5eqbr 4720 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
20333, 35, 48, 191, 202letrd 10232 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
20427, 203eqbrtrrd 4709 . . 3 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑃)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
205204ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑃)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
206 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑃 → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑃))
207206fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑥 = 𝑃 → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) = (𝑁‘(𝐴 𝑃)))
208207breq1d 4695 . . . 4 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴 𝑃)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
209208ralbidv 3015 . . 3 (𝑥 = 𝑃 → (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑃)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
210209rspcev 3340 . 2 ((𝑃𝑌 ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑃)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
21116, 205, 210syl2anc 694 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191   cuni 4468   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  ran crn 5144  cres 5145  cfv 5926  (class class class)co 6690  infcinf 8388  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  +crp 11870  cexp 12900  Basecbs 15904  s cress 15905  distcds 15997  TopOpenctopn 16129  -gcsg 17471  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  ∞Metcxmt 19779  Metcme 19780  fBascfbas 19782  filGencfg 19783  MetOpencmopn 19784  Clsdccld 20868  clsccl 20870  Filcfil 21696   fLim cflim 21785  ∞MetSpcxme 22169  MetSpcmt 22170  normcnm 22428  NrmGrpcngp 22429  ℂPreHilccph 23012  CMetSpccms 23175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-0g 16149  df-topgen 16151  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-staf 18893  df-srng 18894  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lmhm 19070  df-lvec 19151  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-phl 20019  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-haus 21167  df-fil 21697  df-flim 21790  df-xms 22172  df-ms 22173  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-nlm 22438  df-clm 22909  df-cph 23014  df-cfil 23099  df-cmet 23101  df-cms 23178
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