MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem1 23366
Description: Lemma for minvec 23378. The set of all distances from points of 𝑌 to 𝐴 are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
minveclem1 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,   𝑤,𝐴,𝑦   𝑤,𝐽,𝑦   𝑤,𝑁,𝑦   𝜑,𝑤,𝑦   𝑤,𝑅,𝑦   𝑤,𝑈,𝑦   𝑤,𝑋,𝑦   𝑤,𝑌,𝑦

Proof of Theorem minveclem1
StepHypRef Expression
1 minvec.r . . 3 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
2 minvec.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
3 cphngp 23144 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ NrmGrp)
54adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
6 cphlmod 23145 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
72, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
87adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
9 minvec.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
109adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
11 minvec.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
12 minvec.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (Base‘𝑈)
13 eqid 2748 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
1412, 13lssss 19110 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
1511, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
1615sselda 3732 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
17 minvec.m . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
1812, 17lmodvsubcl 19081 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋)
198, 10, 16, 18syl3anc 1463 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋)
20 minvec.n . . . . . . 7 𝑁 = (norm‘𝑈)
2112, 20nmcl 22592 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ℝ)
225, 19, 21syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ℝ)
23 eqid 2748 . . . . 5 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
2422, 23fmptd 6536 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))):𝑌⟶ℝ)
25 frn 6202 . . . 4 ((𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))):𝑌⟶ℝ → ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) ⊆ ℝ)
2624, 25syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) ⊆ ℝ)
271, 26syl5eqss 3778 . 2 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
2813lssn0 19114 . . . 4 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ≠ ∅)
2911, 28syl 17 . . 3 (𝜑𝑌 ≠ ∅)
301eqeq1i 2753 . . . . 5 (𝑅 = ∅ ↔ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = ∅)
31 dm0rn0 5485 . . . . 5 (dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = ∅ ↔ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = ∅)
32 fvex 6350 . . . . . . 7 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
3332, 23dmmpti 6172 . . . . . 6 dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = 𝑌
3433eqeq1i 2753 . . . . 5 (dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = ∅ ↔ 𝑌 = ∅)
3530, 31, 343bitr2i 288 . . . 4 (𝑅 = ∅ ↔ 𝑌 = ∅)
3635necon3bii 2972 . . 3 (𝑅 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅)
3729, 36sylibr 224 . 2 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
3812, 20nmge0 22593 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
395, 19, 38syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
4039ralrimiva 3092 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
4132rgenw 3050 . . . . 5 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
42 breq2 4796 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
4323, 42ralrnmpt 6519 . . . . 5 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
4441, 43ax-mp 5 . . . 4 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
4540, 44sylibr 224 . . 3 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))0 ≤ 𝑤)
461raleqi 3269 . . 3 (∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))0 ≤ 𝑤)
4745, 46sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
4827, 37, 473jca 1403 1 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  wral 3038  Vcvv 3328  wss 3703  c0 4046   class class class wbr 4792  cmpt 4869  dom cdm 5254  ran crn 5255  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  cr 10098  0cc0 10099  cle 10238  Basecbs 16030  s cress 16031  TopOpenctopn 16255  -gcsg 17596  LModclmod 19036  LSubSpclss 19105  normcnm 22553  NrmGrpcngp 22554  ℂPreHilccph 23137  CMetSpccms 23300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-0g 16275  df-topgen 16277  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-lmod 19038  df-lss 19106  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-met 19913  df-bl 19914  df-mopn 19915  df-top 20872  df-topon 20889  df-topsp 20910  df-bases 20923  df-xms 22297  df-ms 22298  df-nm 22559  df-ngp 22560  df-nlm 22563  df-cph 23139
This theorem is referenced by:  minveclem4c  23367  minveclem2  23368  minveclem3b  23370  minveclem4  23374  minveclem6  23376
  Copyright terms: Public domain W3C validator