MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  miduniq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem miduniq2 25803
Description: If two point inversions commute, they are identical. Theorem 7.19 of [Schwabhauser] p. 52. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
miduniq2.a (𝜑𝐴𝑃)
miduniq2.b (𝜑𝐵𝑃)
miduniq2.x (𝜑𝑋𝑃)
miduniq2.e (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘((𝑆𝐵)‘𝑋)) = ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐴)‘𝑋)))
Assertion
Ref Expression
miduniq2 (𝜑𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem miduniq2
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . . 4 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 miduniq2.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
8 eqid 2771 . . . . . 6 (𝑆𝐵) = (𝑆𝐵)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mirf 25776 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐵):𝑃𝑃)
10 miduniq2.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
119, 10ffvelrnd 6503 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘𝐴) ∈ 𝑃)
12 miduniq2.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
13 eqid 2771 . . . . . 6 ((𝑆𝐵)‘𝐴) = ((𝑆𝐵)‘𝐴)
14 eqid 2771 . . . . . 6 ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘𝑋)) = ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘𝑋))
15 eqid 2771 . . . . . 6 ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐴)‘𝑋))) = ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐴)‘𝑋)))
169, 12ffvelrnd 6503 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘𝑋) ∈ 𝑃)
17 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑆𝐴) = (𝑆𝐴)
181, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 17, 12mircl 25777 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝑋) ∈ 𝑃)
199, 18ffvelrnd 6503 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐴)‘𝑋)) ∈ 𝑃)
20 miduniq2.e . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘((𝑆𝐵)‘𝑋)) = ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐴)‘𝑋)))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13, 14, 15, 7, 10, 16, 19, 20mirauto 25800 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆‘((𝑆𝐵)‘𝐴))‘((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘𝑋))) = ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐴)‘𝑋))))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12mirmir 25778 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘𝑋)) = 𝑋)
2322fveq2d 6336 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆‘((𝑆𝐵)‘𝐴))‘((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘𝑋))) = ((𝑆‘((𝑆𝐵)‘𝐴))‘𝑋))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18mirmir 25778 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐴)‘𝑋))) = ((𝑆𝐴)‘𝑋))
2521, 23, 243eqtr3d 2813 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆‘((𝑆𝐵)‘𝐴))‘𝑋) = ((𝑆𝐴)‘𝑋))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 10, 12, 25miduniq1 25802 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘𝐴) = 𝐴)
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10mirinv 25782 . . 3 (𝜑 → (((𝑆𝐵)‘𝐴) = 𝐴𝐵 = 𝐴))
2826, 27mpbid 222 . 2 (𝜑𝐵 = 𝐴)
2928eqcomd 2777 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  Basecbs 16064  distcds 16158  TarskiGcstrkg 25550  Itvcitv 25556  LineGclng 25557  pInvGcmir 25768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-s2 13802  df-s3 13803  df-trkgc 25568  df-trkgb 25569  df-trkgcb 25570  df-trkg 25573  df-cgrg 25627  df-mir 25769
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator