MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  miduniq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem miduniq 25801
Description: Unicity of the middle point, expressed with point inversion. Theorem 7.17 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
miduniq.a (𝜑𝐴𝑃)
miduniq.b (𝜑𝐵𝑃)
miduniq.x (𝜑𝑋𝑃)
miduniq.y (𝜑𝑌𝑃)
miduniq.e (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝑋) = 𝑌)
miduniq.f (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘𝑋) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
miduniq (𝜑𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem miduniq
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3 mirval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 miduniq.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
6 miduniq.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
7 miduniq.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
8 eqid 2771 . . . 4 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
9 mirval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
10 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
11 miduniq.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
12 eqid 2771 . . . . 5 (𝑆𝐴) = (𝑆𝐴)
131, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 7mircl 25777 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑃)
14 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝑆𝐵) = (𝑆𝐵)
151, 9, 3, 2, 10, 4, 7, 14, 5mirbtwn 25774 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (((𝑆𝐵)‘𝑋)𝐼𝑋))
16 miduniq.f . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘𝑋) = 𝑌)
1716oveq1d 6808 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑆𝐵)‘𝑋)𝐼𝑋) = (𝑌𝐼𝑋))
1815, 17eleqtrd 2852 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝑌𝐼𝑋))
191, 9, 3, 4, 6, 7, 5, 18tgbtwncom 25604 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
201, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 6, 7miriso 25786 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆𝐴)‘𝑌) ((𝑆𝐴)‘𝐵)) = (𝑌 𝐵))
21 miduniq.e . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝑋) = 𝑌)
221, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 5, 21mircom 25779 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝑌) = 𝑋)
2322oveq1d 6808 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆𝐴)‘𝑌) ((𝑆𝐴)‘𝐵)) = (𝑋 ((𝑆𝐴)‘𝐵)))
241, 9, 3, 2, 10, 4, 7, 14, 5mircgr 25773 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ((𝑆𝐵)‘𝑋)) = (𝐵 𝑋))
2516oveq2d 6809 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ((𝑆𝐵)‘𝑋)) = (𝐵 𝑌))
2624, 25eqtr3d 2807 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 𝑋) = (𝐵 𝑌))
2726eqcomd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 𝑌) = (𝐵 𝑋))
281, 9, 3, 4, 7, 6, 7, 5, 27tgcgrcomlr 25596 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 𝐵) = (𝑋 𝐵))
2920, 23, 283eqtr3rd 2814 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝐵) = (𝑋 ((𝑆𝐴)‘𝐵)))
301, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 5, 7miriso 25786 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆𝐴)‘𝑋) ((𝑆𝐴)‘𝐵)) = (𝑋 𝐵))
3121oveq1d 6808 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆𝐴)‘𝑋) ((𝑆𝐴)‘𝐵)) = (𝑌 ((𝑆𝐴)‘𝐵)))
321, 9, 3, 4, 7, 5, 7, 6, 26tgcgrcomlr 25596 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝐵) = (𝑌 𝐵))
3330, 31, 323eqtr3rd 2814 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 𝐵) = (𝑌 ((𝑆𝐴)‘𝐵)))
341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 11, 9, 19, 29, 33tgidinside 25687 . . 3 (𝜑𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐵))
3534eqcomd 2777 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝐵) = 𝐵)
361, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 7mirinv 25782 . 2 (𝜑 → (((𝑆𝐴)‘𝐵) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
3735, 36mpbid 222 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  distcds 16158  TarskiGcstrkg 25550  Itvcitv 25556  LineGclng 25557  cgrGccgrg 25626  pInvGcmir 25768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-s2 13802  df-s3 13803  df-trkgc 25568  df-trkgb 25569  df-trkgcb 25570  df-trkg 25573  df-cgrg 25627  df-mir 25769
This theorem is referenced by:  miduniq1  25802  krippenlem  25806  mideu  25851  opphllem3  25862
  Copyright terms: Public domain W3C validator