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Theorem midex 25849
Description: Existence of the midpoint, part Theorem 8.22 of [Schwabhauser] p. 64. Note that this proof requires a construction in 2 dimensions or more, i.e. it does not prove the existence of a midpoint in dimension 1, for a geometry restricted to a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d = (dist‘𝐺)
colperpex.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mideu.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mideu.1 (𝜑𝐴𝑃)
mideu.2 (𝜑𝐵𝑃)
mideu.3 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
Assertion
Ref Expression
midex (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Proof of Theorem midex
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mideu.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
21adantr 466 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝑃)
3 colperpex.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 colperpex.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
5 colperpex.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 colperpex.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7 mideu.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8 colperpex.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 eqid 2770 . . . . 5 (𝑆𝐴) = (𝑆𝐴)
113, 4, 5, 6, 7, 9, 2, 10mircinv 25783 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ((𝑆𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
12 simpr 471 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
1311, 12eqtr2d 2805 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴))
14 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝐴))
1514fveq1d 6334 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆𝑥)‘𝐴) = ((𝑆𝐴)‘𝐴))
1615eqeq2d 2780 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ↔ 𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴)))
1716rspcev 3458 . . 3 ((𝐴𝑃𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
182, 13, 17syl2anc 565 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
198adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2019ad2antrr 697 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2120ad4antr 704 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
221adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝑃)
2322ad2antrr 697 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝑃)
2423ad4antr 704 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐴𝑃)
25 mideu.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑃)
2625adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑃)
2726ad2antrr 697 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵𝑃)
2827ad4antr 704 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐵𝑃)
29 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
3029ad2antrr 697 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝐵)
3130ad4antr 704 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐴𝐵)
32 simplr 744 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝑞𝑃)
3332ad4antr 704 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑞𝑃)
34 simp-4r 762 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑝𝑃)
35 simpllr 752 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑡𝑃)
36 simp-5r 766 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
376, 21, 36perpln1 25825 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿)
383, 5, 6, 21, 24, 28, 31tgelrnln 25745 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
393, 4, 5, 6, 21, 37, 38, 36perpcom 25828 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑞))
403, 5, 6, 21, 28, 33, 37tglnne 25743 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐵𝑞)
413, 5, 6, 21, 28, 33, 40tglinecom 25750 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞) = (𝑞𝐿𝐵))
4239, 41breqtrd 4810 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝐵))
43 simplr 744 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
4443simpld 476 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
456, 21, 44perpln1 25825 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
463, 4, 5, 6, 21, 45, 38, 44perpcom 25828 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑝))
4731neneqd 2947 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
4843simprd 477 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))
4948simpld 476 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
5049orcomd 851 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴 = 𝐵𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
5150ord 844 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
5247, 51mpd 15 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
5348simprd 477 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
54 simpr 471 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞))
553, 4, 5, 6, 21, 7, 24, 28, 31, 33, 34, 35, 42, 46, 52, 53, 54mideulem 25848 . . . . 5 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
5620ad4antr 704 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5756adantr 466 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
58 simprl 746 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝑥𝑃)
59 eqid 2770 . . . . . . . 8 (𝑆𝑥) = (𝑆𝑥)
6027ad4antr 704 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐵𝑃)
6160adantr 466 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝐵𝑃)
62 simprr 748 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))
6362eqcomd 2776 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → ((𝑆𝑥)‘𝐵) = 𝐴)
643, 4, 5, 6, 7, 57, 58, 59, 61, 63mircom 25778 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → ((𝑆𝑥)‘𝐴) = 𝐵)
6564eqcomd 2776 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
6623ad4antr 704 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐴𝑃)
6730ad4antr 704 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐴𝐵)
6867necomd 2997 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐵𝐴)
69 simp-4r 762 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑝𝑃)
7032ad4antr 704 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑞𝑃)
71 simpllr 752 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡𝑃)
72 simplr 744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
7372simpld 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
746, 56, 73perpln1 25825 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
753, 5, 6, 56, 66, 69, 74tglnne 25743 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐴𝑝)
763, 5, 6, 56, 66, 69, 75tglinecom 25750 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝) = (𝑝𝐿𝐴))
7776eqcomd 2776 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴) = (𝐴𝐿𝑝))
7877, 74eqeltrd 2849 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
793, 5, 6, 56, 60, 66, 68tgelrnln 25745 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
803, 5, 6, 56, 66, 60, 67tglinecom 25750 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
8173, 76, 803brtr3d 4815 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
823, 4, 5, 6, 56, 78, 79, 81perpcom 25828 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴))
83 simp-5r 766 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
846, 56, 83perpln1 25825 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿)
8583, 80breqtrd 4810 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
863, 4, 5, 6, 56, 84, 79, 85perpcom 25828 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑞))
8767neneqd 2947 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
8872simprd 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))
8988simpld 476 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
9089orcomd 851 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴 = 𝐵𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
9190ord 844 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
9287, 91mpd 15 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
9392, 80eleqtrd 2851 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝐵𝐿𝐴))
9488simprd 477 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
953, 4, 5, 56, 70, 71, 69, 94tgbtwncom 25603 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
96 simpr 471 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝))
973, 4, 5, 6, 56, 7, 60, 66, 68, 69, 70, 71, 82, 86, 93, 95, 96mideulem 25848 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ∃𝑥𝑃 𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))
9865, 97reximddv 3165 . . . . 5 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
99 eqid 2770 . . . . . 6 (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
10020ad3antrrr 701 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10123ad3antrrr 701 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐴𝑃)
102 simpllr 752 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝑝𝑃)
10327ad3antrrr 701 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐵𝑃)
10432ad3antrrr 701 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝑞𝑃)
1053, 4, 5, 99, 100, 101, 102, 103, 104legtrid 25706 . . . . 5 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → ((𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞) ∨ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)))
10655, 98, 105mpjaodan 939 . . . 4 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
107 mideu.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
108107adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐺DimTarskiG≥2)
109108ad2antrr 697 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
1103, 4, 5, 6, 20, 23, 27, 32, 30, 109colperpex 25845 . . . . 5 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
111 r19.42v 3239 . . . . . 6 (∃𝑡𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) ↔ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
112111rexbii 3188 . . . . 5 (∃𝑝𝑃𝑡𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) ↔ ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
113110, 112sylibr 224 . . . 4 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝𝑃𝑡𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
114106, 113r19.29vva 3228 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
11529necomd 2997 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
1163, 4, 5, 6, 19, 26, 22, 22, 115, 108colperpex 25845 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → ∃𝑞𝑃 ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))))
117 simprl 746 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
1183, 5, 6, 19, 22, 26, 29tglinecom 25750 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
119118adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
120117, 119breqtrrd 4812 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
121120ex 397 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
122121reximdv 3163 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (∃𝑞𝑃 ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))) → ∃𝑞𝑃 (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
123116, 122mpd 15 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∃𝑞𝑃 (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
124114, 123r19.29a 3225 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
12518, 124pm2.61dane 3029 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  wo 826   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wrex 3061   class class class wbr 4784  ran crn 5250  cfv 6031  (class class class)co 6792  2c2 11271  Basecbs 16063  distcds 16157  TarskiGcstrkg 25549  DimTarskiGcstrkgld 25553  Itvcitv 25555  LineGclng 25556  ≤Gcleg 25697  pInvGcmir 25767  ⟂Gcperpg 25810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494  df-concat 13496  df-s1 13497  df-s2 13801  df-s3 13802  df-trkgc 25567  df-trkgb 25568  df-trkgcb 25569  df-trkgld 25571  df-trkg 25572  df-cgrg 25626  df-leg 25698  df-mir 25768  df-rag 25809  df-perpg 25811
This theorem is referenced by:  mideu  25850  opphllem5  25863  opphl  25866
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