MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mideulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mideulem 25849
Description: Lemma for mideu 25851. We can assume mideulem.9 "without loss of generality" (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d = (dist‘𝐺)
colperpex.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mideu.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mideu.1 (𝜑𝐴𝑃)
mideu.2 (𝜑𝐵𝑃)
mideulem.1 (𝜑𝐴𝐵)
mideulem.2 (𝜑𝑄𝑃)
mideulem.3 (𝜑𝑂𝑃)
mideulem.4 (𝜑𝑇𝑃)
mideulem.5 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑄𝐿𝐵))
mideulem.6 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑂))
mideulem.7 (𝜑𝑇 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
mideulem.8 (𝜑𝑇 ∈ (𝑄𝐼𝑂))
mideulem.9 (𝜑 → (𝐴 𝑂)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑄))
Assertion
Ref Expression
mideulem (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑂   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem mideulem
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprrl 766 . . 3 ((((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝑂 = ((𝑆𝑥)‘𝑟)))) → 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
2 colperpex.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 colperpex.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
4 colperpex.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 colperpex.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 colperpex.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 mideu.s . . . 4 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
9 mideu.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
109ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝐴𝑃)
11 mideu.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1211ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝐵𝑃)
13 mideulem.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
1413ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝐴𝐵)
15 mideulem.2 . . . . 5 (𝜑𝑄𝑃)
1615ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑄𝑃)
17 mideulem.3 . . . . 5 (𝜑𝑂𝑃)
1817ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑂𝑃)
19 mideulem.4 . . . . 5 (𝜑𝑇𝑃)
2019ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑇𝑃)
21 mideulem.5 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑄𝐿𝐵))
2221ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑄𝐿𝐵))
23 mideulem.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑂))
2423ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑂))
25 mideulem.7 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
2625ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑇 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
27 mideulem.8 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (𝑄𝐼𝑂))
2827ad2antrr 705 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑇 ∈ (𝑄𝐼𝑂))
29 simplr 752 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑟𝑃)
30 simprl 754 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄))
31 simprr 756 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))
322, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 31opphllem 25848 . . 3 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝑂 = ((𝑆𝑥)‘𝑟)))
331, 32reximddv 3166 . 2 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
34 mideulem.9 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝑂)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑄))
35 eqid 2771 . . . 4 (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
362, 3, 4, 35, 6, 9, 17, 11, 15legov 25701 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝑂)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑄) ↔ ∃𝑟𝑃 (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))))
3734, 36mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∃𝑟𝑃 (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟)))
3833, 37r19.29a 3226 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  distcds 16158  TarskiGcstrkg 25550  Itvcitv 25556  LineGclng 25557  ≤Gcleg 25698  pInvGcmir 25768  ⟂Gcperpg 25811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-s2 13802  df-s3 13803  df-trkgc 25568  df-trkgb 25569  df-trkgcb 25570  df-trkg 25573  df-cgrg 25627  df-leg 25699  df-mir 25769  df-rag 25810  df-perpg 25812
This theorem is referenced by:  midex  25850
  Copyright terms: Public domain W3C validator