MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mideu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mideu 25850
Description: Existence and uniqueness of the midpoint, Theorem 8.22 of [Schwabhauser] p. 64. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d = (dist‘𝐺)
colperpex.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mideu.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mideu.1 (𝜑𝐴𝑃)
mideu.2 (𝜑𝐵𝑃)
mideu.3 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
Assertion
Ref Expression
mideu (𝜑 → ∃!𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Proof of Theorem mideu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 colperpex.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 colperpex.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 colperpex.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 colperpex.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 colperpex.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 mideu.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7 mideu.1 . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
8 mideu.2 . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
9 mideu.3 . . 3 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9midex 25849 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
115ad2antrr 697 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12 simplrl 754 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))) → 𝑥𝑃)
13 simplrr 755 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))) → 𝑦𝑃)
147ad2antrr 697 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))) → 𝐴𝑃)
158ad2antrr 697 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))) → 𝐵𝑃)
16 simprl 746 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))) → 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
1716eqcomd 2776 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))) → ((𝑆𝑥)‘𝐴) = 𝐵)
18 simprr 748 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))) → 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))
1918eqcomd 2776 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))) → ((𝑆𝑦)‘𝐴) = 𝐵)
201, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19miduniq 25800 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))) → 𝑥 = 𝑦)
2120ex 397 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → ((𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴)) → 𝑥 = 𝑦))
2221ralrimivva 3119 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑃𝑦𝑃 ((𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴)) → 𝑥 = 𝑦))
23 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝑦))
2423fveq1d 6334 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑆𝑥)‘𝐴) = ((𝑆𝑦)‘𝐴))
2524eqeq2d 2780 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ↔ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴)))
2625rmo4 3549 . . 3 (∃*𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ↔ ∀𝑥𝑃𝑦𝑃 ((𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴)) → 𝑥 = 𝑦))
2722, 26sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∃*𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
28 reu5 3307 . 2 (∃!𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ↔ (∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ ∃*𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴)))
2910, 27, 28sylanbrc 564 1 (𝜑 → ∃!𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  wrex 3061  ∃!wreu 3062  ∃*wrmo 3063   class class class wbr 4784  cfv 6031  2c2 11271  Basecbs 16063  distcds 16157  TarskiGcstrkg 25549  DimTarskiGcstrkgld 25553  Itvcitv 25555  LineGclng 25556  pInvGcmir 25767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494  df-concat 13496  df-s1 13497  df-s2 13801  df-s3 13802  df-trkgc 25567  df-trkgb 25568  df-trkgcb 25569  df-trkgld 25571  df-trkg 25572  df-cgrg 25626  df-leg 25698  df-mir 25768  df-rag 25809  df-perpg 25811
This theorem is referenced by:  midf  25888  ismidb  25890
  Copyright terms: Public domain W3C validator