Theorem midbtwn 25841

Description: Betweenness of midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
midcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
midcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
midbtwn	⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ (𝐴𝐼𝐵))

Proof of Theorem midbtwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismid.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismid.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ismid.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ismid.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		midcl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		ismid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
7		midcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	1, 2, 3, 4, 6, 7, 5	midcl 25839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑃)
9		eqid 2748	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
10		eqid 2748	. . . 4 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
11		eqid 2748	. . . 4 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)) = ((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))
12	1, 2, 3, 9, 10, 4, 8, 11, 7	mirbtwn 25723	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴)𝐼𝐴))
13		eqidd 2749	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐵))
14	1, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 10, 8	ismidb 25840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))
15	13, 14	mpbird 247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴))
16	15	oveq1d 6816	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐼𝐴) = ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴)𝐼𝐴))
17	12, 16	eleqtrrd 2830	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ (𝐵𝐼𝐴))
18	1, 2, 3, 4, 5, 8, 7, 17	tgbtwncom 25553	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ (𝐴𝐼𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   class class class wbr 4792  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  2c2 11233  Basecbs 16030  distcds 16123  TarskiGcstrkg 25499  Dim_TarskiG≥cstrkgld 25503  Itvcitv 25505  LineGclng 25506  pInvGcmir 25717  midGcmid 25834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8926  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-xnn0 11527  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-hash 13283  df-word 13456  df-concat 13458  df-s1 13459  df-s2 13764  df-s3 13765  df-trkgc 25517  df-trkgb 25518  df-trkgcb 25519  df-trkgld 25521  df-trkg 25522  df-cgrg 25576  df-leg 25648  df-mir 25718  df-rag 25759  df-perpg 25761  df-mid 25836

This theorem is referenced by:  midid  25843  midcom  25844  lmieu  25846  lmimid  25856  lmiisolem  25858  hypcgrlem1  25861  hypcgrlem2  25862  lmiopp  25864