MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmvlin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhmvlin 20425
Description: Tuple extension of monoid homomorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmvlin.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
mhmvlin.p + = (+g𝑀)
mhmvlin.q = (+g𝑁)
Assertion
Ref Expression
mhmvlin ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋𝑓 + 𝑌)) = ((𝐹𝑋) ∘𝑓 (𝐹𝑌)))

Proof of Theorem mhmvlin
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1228 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
2 elmapi 8047 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝑋:𝐼𝐵)
323ad2ant2 1129 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝑋:𝐼𝐵)
43ffvelrnda 6523 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑋𝑦) ∈ 𝐵)
5 elmapi 8047 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝑌:𝐼𝐵)
653ad2ant3 1130 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝑌:𝐼𝐵)
76ffvelrnda 6523 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑌𝑦) ∈ 𝐵)
8 mhmvlin.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
9 mhmvlin.p . . . . 5 + = (+g𝑀)
10 mhmvlin.q . . . . 5 = (+g𝑁)
118, 9, 10mhmlin 17563 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ (𝑋𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌𝑦) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦))) = ((𝐹‘(𝑋𝑦)) (𝐹‘(𝑌𝑦))))
121, 4, 7, 11syl3anc 1477 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝐹‘((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦))) = ((𝐹‘(𝑋𝑦)) (𝐹‘(𝑌𝑦))))
1312mpteq2dva 4896 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝑦𝐼 ↦ (𝐹‘((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦)))) = (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹‘(𝑋𝑦)) (𝐹‘(𝑌𝑦)))))
14 mhmrcl1 17559 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Mnd)
1514adantr 472 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
16153ad2antl1 1201 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
178, 9mndcl 17522 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦)) ∈ 𝐵)
1816, 4, 7, 17syl3anc 1477 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦)) ∈ 𝐵)
19 elmapex 8046 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
2019simprd 482 . . . . 5 (𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
21203ad2ant3 1130 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
223feqmptd 6412 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝑋 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)))
236feqmptd 6412 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝑌 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑌𝑦)))
2421, 4, 7, 22, 23offval2 7080 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝑋𝑓 + 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ ((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦))))
25 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
268, 25mhmf 17561 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁))
27263ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁))
2827feqmptd 6412 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝐹 = (𝑧𝐵 ↦ (𝐹𝑧)))
29 fveq2 6353 . . 3 (𝑧 = ((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦)) → (𝐹𝑧) = (𝐹‘((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦))))
3018, 24, 28, 29fmptco 6560 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋𝑓 + 𝑌)) = (𝑦𝐼 ↦ (𝐹‘((𝑋𝑦) + (𝑌𝑦)))))
31 fvexd 6365 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝐹‘(𝑋𝑦)) ∈ V)
32 fvexd 6365 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝐹‘(𝑌𝑦)) ∈ V)
33 fcompt 6564 . . . 4 ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑋:𝐼𝐵) → (𝐹𝑋) = (𝑦𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑋𝑦))))
3427, 3, 33syl2anc 696 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝐹𝑋) = (𝑦𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑋𝑦))))
35 fcompt 6564 . . . 4 ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑌:𝐼𝐵) → (𝐹𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑌𝑦))))
3627, 6, 35syl2anc 696 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝐹𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝐹‘(𝑌𝑦))))
3721, 31, 32, 34, 36offval2 7080 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → ((𝐹𝑋) ∘𝑓 (𝐹𝑌)) = (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹‘(𝑋𝑦)) (𝐹‘(𝑌𝑦)))))
3813, 30, 373eqtr4d 2804 1 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝐹 ∘ (𝑋𝑓 + 𝑌)) = ((𝐹𝑋) ∘𝑓 (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  cmpt 4881  ccom 5270  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑓 cof 7061  𝑚 cmap 8025  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  Mndcmnd 17515   MndHom cmhm 17554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-map 8027  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556
This theorem is referenced by:  mendring  38282
  Copyright terms: Public domain W3C validator