Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mgpsumz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgpsumz 42669
Description: If the group sum for the multiplicative group of a unital ring contains a summand/factor that is the zero of the ring, the group sum itself is zero. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpsumunsn.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpsumunsn.t · = (.r𝑅)
mgpsumunsn.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mgpsumunsn.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mgpsumunsn.i (𝜑𝐼𝑁)
mgpsumunsn.a ((𝜑𝑘𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumz.z 0 = (0g𝑅)
mgpsumz.0 (𝑘 = 𝐼𝐴 = 0 )
Assertion
Ref Expression
mgpsumz (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝑁𝐴)) = 0 )
Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   0 ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   · (𝑘)

Proof of Theorem mgpsumz
StepHypRef Expression
1 mgpsumunsn.m . . 3 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2 mgpsumunsn.t . . 3 · = (.r𝑅)
3 mgpsumunsn.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
4 mgpsumunsn.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
5 mgpsumunsn.i . . 3 (𝜑𝐼𝑁)
6 mgpsumunsn.a . . 3 ((𝜑𝑘𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7 crngring 18766 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8 ringmnd 18764 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
103, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
11 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12 mgpsumz.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
1311, 12mndidcl 17516 . . . 4 (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
1410, 13syl 17 . . 3 (𝜑0 ∈ (Base‘𝑅))
15 mgpsumz.0 . . 3 (𝑘 = 𝐼𝐴 = 0 )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 15mgpsumunsn 42668 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝑁𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ))
173, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
181, 11mgpbas 18703 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
191crngmgp 18763 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
203, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
21 diffi 8348 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
224, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
23 eldifi 3883 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑘𝑁)
2423, 6sylan2 580 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
2524ralrimiva 3115 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
2618, 20, 22, 25gsummptcl 18573 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
2711, 2, 12ringrz 18796 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ) = 0 )
2817, 26, 27syl2anc 573 . 2 (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ) = 0 )
2916, 28eqtrd 2805 1 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝑁𝐴)) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cdif 3720  {csn 4316  cmpt 4863  cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  Basecbs 16064  .rcmulr 16150  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  Mndcmnd 17502  CMndccmn 18400  mulGrpcmgp 18697  Ringcrg 18755  CRingccrg 18756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-mgp 18698  df-ring 18757  df-cring 18758
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator