Theorem mgpplusg 18539

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpplusg	⊢ · = (+g‘𝑀)

Proof of Theorem mgpplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
2		fvex 6239	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2726	. . . 4 ⊢ · ∈ V
4		plusgid 16024	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
5	4	setsid 15961	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
6	3, 5	mpan2 707	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
7		mgpval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8	7, 1	mgpval 18538	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
9	8	fveq2i 6232	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
10	6, 9	syl6eqr 2703	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
11	4	str0 15958	. . 3 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
12		fvprc 6223	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
13	1, 12	syl5eq 2697	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
14		fvprc 6223	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
15	7, 14	syl5eq 2697	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑀 = ∅)
16	15	fveq2d 6233	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘∅))
17	11, 13, 16	3eqtr4a 2711	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
18	10, 17	pm2.61i 176	1 ⊢ · = (+g‘𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  ∅c0 3948  ⟨cop 4216  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ndxcnx 15901   sSet csts 15902  +_gcplusg 15988  ._rcmulr 15989  mulGrpcmgp 18535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-mgp 18536

This theorem is referenced by:  dfur2  18550  srgcl  18558  srgass  18559  srgideu  18560  srgidmlem  18566  issrgid  18569  srg1zr  18575  srgpcomp  18578  srgpcompp  18579  srgbinomlem4  18589  srgbinomlem  18590  csrgbinom  18592  ringcl  18607  crngcom  18608  iscrng2  18609  ringass  18610  ringideu  18611  ringidmlem  18616  isringid  18619  ringidss  18623  ringpropd  18628  crngpropd  18629  isringd  18631  iscrngd  18632  ring1  18648  gsummgp0  18654  prdsmgp  18656  oppr1  18680  unitgrp  18713  unitlinv  18723  unitrinv  18724  rngidpropd  18741  invrpropd  18744  dfrhm2  18765  rhmmul  18775  isrhm2d  18776  isdrng2  18805  drngmcl  18808  drngid2  18811  isdrngd  18820  subrgugrp  18847  issubrg3  18856  cntzsubr  18860  rhmpropd  18863  rlmscaf  19256  sraassa  19373  assamulgscmlem2  19397  psrcrng  19461  mplcoe3  19514  mplcoe5lem  19515  mplcoe5  19516  mplcoe2  19517  mplbas2  19518  evlslem1  19563  mpfind  19584  coe1tm  19691  ply1coe  19714  xrsmcmn  19817  cnfldexp  19827  cnmsubglem  19857  expmhm  19863  nn0srg  19864  rge0srg  19865  expghm  19892  psgnghm  19974  psgnco  19977  evpmodpmf1o  19990  ringvcl  20252  mamuvs2  20260  mat1mhm  20338  scmatmhm  20388  mdetdiaglem  20452  mdetrlin  20456  mdetrsca  20457  mdetralt  20462  mdetunilem7  20472  mdetuni0  20475  m2detleib  20485  invrvald  20530  mat2pmatmhm  20586  pm2mpmhm  20673  chfacfpmmulgsum2  20718  cpmadugsumlemB  20727  cnmpt1mulr  22032  cnmpt2mulr  22033  reefgim  24249  efabl  24341  efsubm  24342  amgm  24762  wilthlem2  24840  wilthlem3  24841  dchrelbas3  25008  dchrzrhmul  25016  dchrmulcl  25019  dchrn0  25020  dchrinvcl  25023  dchrptlem2  25035  dchrsum2  25038  sum2dchr  25044  lgseisenlem3  25147  lgseisenlem4  25148  rdivmuldivd  29919  ringinvval  29920  dvrcan5  29921  rhmunitinv  29950  iistmd  30076  xrge0iifmhm  30113  xrge0pluscn  30114  pl1cn  30129  cntzsdrg  38089  isdomn3  38099  mon1psubm  38101  deg1mhm  38102  amgm2d  38818  amgm3d  38819  amgm4d  38820  isringrng  42206  rngcl  42208  isrnghmmul  42218  lidlmmgm  42250  lidlmsgrp  42251  2zrngmmgm  42271  2zrngmsgrp  42272  2zrngnring  42277  cznrng  42280  cznnring  42281  mgpsumunsn  42465  invginvrid  42473  amgmlemALT  42877  amgmw2d  42878