MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgplem 18702
Description: Lemma for mgpbas 18703. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgplem.2 𝐸 = Slot 𝑁
mgplem.3 𝑁 ∈ ℕ
mgplem.4 𝑁 ≠ 2
Assertion
Ref Expression
mgplem (𝐸𝑅) = (𝐸𝑀)

Proof of Theorem mgplem
StepHypRef Expression
1 mgplem.2 . . . 4 𝐸 = Slot 𝑁
2 mgplem.3 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxid 16090 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4 mgplem.4 . . . 4 𝑁 ≠ 2
51, 2ndxarg 16089 . . . . 5 (𝐸‘ndx) = 𝑁
6 plusgndx 16184 . . . . 5 (+g‘ndx) = 2
75, 6neeq12i 3009 . . . 4 ((𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 2)
84, 7mpbir 221 . . 3 (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
93, 8setsnid 16122 . 2 (𝐸𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
10 mgpbas.1 . . . 4 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11 eqid 2771 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1210, 11mgpval 18700 . . 3 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩)
1312fveq2i 6335 . 2 (𝐸𝑀) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
149, 13eqtr4i 2796 1 (𝐸𝑅) = (𝐸𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cop 4322  cfv 6031  (class class class)co 6793  cn 11222  2c2 11272  ndxcnx 16061   sSet csts 16062  Slot cslot 16063  +gcplusg 16149  .rcmulr 16150  mulGrpcmgp 18697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-mgp 18698
This theorem is referenced by:  mgpbas  18703  mgpsca  18704  mgptset  18705  mgpds  18707
  Copyright terms: Public domain W3C validator