MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgpbas 18541
Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpbas.2 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mgpbas 𝐵 = (Base‘𝑀)

Proof of Theorem mgpbas
StepHypRef Expression
1 mgpbas.2 . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 mgpbas.1 . . 3 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3 df-base 15910 . . 3 Base = Slot 1
4 1nn 11069 . . 3 1 ∈ ℕ
5 1ne2 11278 . . 3 1 ≠ 2
62, 3, 4, 5mgplem 18540 . 2 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
71, 6eqtri 2673 1 𝐵 = (Base‘𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  cfv 5926  1c1 9975  Basecbs 15904  mulGrpcmgp 18535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-mgp 18536
This theorem is referenced by:  mgptopn  18544  mgpress  18546  dfur2  18550  srgcl  18558  srgass  18559  srgideu  18560  srgidcl  18564  srgidmlem  18566  issrgid  18569  srg1zr  18575  srgpcomp  18578  srgpcompp  18579  srgpcomppsc  18580  srgbinomlem1  18586  srgbinomlem4  18589  srgbinomlem  18590  srgbinom  18591  csrgbinom  18592  ringcl  18607  crngcom  18608  iscrng2  18609  ringass  18610  ringideu  18611  ringidcl  18614  ringidmlem  18616  isringid  18619  ringidss  18623  ringpropd  18628  crngpropd  18629  isringd  18631  iscrngd  18632  ring1  18648  gsummgp0  18654  prdsmgp  18656  oppr1  18680  unitgrpbas  18712  unitsubm  18716  rngidpropd  18741  dfrhm2  18765  rhmmul  18775  isrhm2d  18776  idrhm  18779  rhmf1o  18780  pwsco1rhm  18786  pwsco2rhm  18787  isdrng2  18805  drngmcl  18808  drngid2  18811  isdrngd  18820  subrgsubm  18841  issubrg3  18856  cntzsubr  18860  pwsdiagrhm  18861  rhmpropd  18863  rlmscaf  19256  sraassa  19373  assamulgscmlem1  19396  assamulgscmlem2  19397  psrcrng  19461  mplcoe3  19514  mplcoe5lem  19515  mplcoe5  19516  mplbas2  19518  evlslem6  19561  evlslem3  19562  evlslem1  19563  mpfind  19584  ply1moncl  19689  coe1tm  19691  coe1pwmul  19697  ply1scltm  19699  ply1coefsupp  19713  ply1coe  19714  gsummoncoe1  19722  lply1binomsc  19725  evls1gsummul  19738  evls1varpw  19739  evl1expd  19757  evl1gsummul  19772  evl1scvarpw  19775  evl1scvarpwval  19776  evl1gsummon  19777  xrsmcmn  19817  cnfldexp  19827  cnmsubglem  19857  expmhm  19863  nn0srg  19864  rge0srg  19865  expghm  19892  cnmsgnbas  19972  ringvcl  20252  mamuvs2  20260  matgsumcl  20314  madetsmelbas  20318  madetsmelbas2  20319  mat1mhm  20338  scmatmhm  20388  mdetleib2  20442  mdetf  20449  m1detdiag  20451  mdetdiaglem  20452  mdetdiag  20453  mdetdiagid  20454  mdetrlin  20456  mdetrsca  20457  mdetralt  20462  mdetunilem7  20472  mdetunilem8  20473  mdetuni0  20475  m2detleiblem2  20482  m2detleiblem3  20483  m2detleiblem4  20484  smadiadetlem4  20523  mat2pmatmhm  20586  pmatcollpwscmatlem1  20642  mply1topmatcllem  20656  mply1topmatcl  20658  pm2mpghm  20669  pm2mpmhm  20673  monmat2matmon  20677  pm2mp  20678  chpscmat  20695  chpscmatgsumbin  20697  chpscmatgsummon  20698  chp0mat  20699  chpidmat  20700  chfacfscmulcl  20710  chfacfscmul0  20711  chfacfscmulgsum  20713  chfacfpmmulcl  20714  chfacfpmmul0  20715  chfacfpmmulgsum  20717  chfacfpmmulgsum2  20718  cayhamlem1  20719  cpmadugsumlemB  20727  cpmadugsumlemC  20728  cpmadugsumlemF  20729  cayhamlem2  20737  cayhamlem4  20741  nrgtrg  22541  deg1pw  23925  ply1remlem  23967  fta1blem  23973  plypf1  24013  efabl  24341  efsubm  24342  amgm  24762  wilthlem2  24840  wilthlem3  24841  dchrelbas2  25007  dchrelbas3  25008  dchrzrhmul  25016  dchrmulcl  25019  dchrn0  25020  dchrinvcl  25023  dchrfi  25025  dchrsum2  25038  sum2dchr  25044  lgsqrlem1  25116  lgsqrlem2  25117  lgsqrlem3  25118  lgsqrlem4  25119  lgseisenlem3  25147  lgseisenlem4  25148  dchrisum0flblem1  25242  psgnid  29975  mdetpmtr1  30017  iistmd  30076  xrge0iifmhm  30113  xrge0pluscn  30114  pl1cn  30129  hbtlem4  38013  subrgacs  38087  cntzsdrg  38089  idomrootle  38090  isdomn3  38099  mon1psubm  38101  deg1mhm  38102  amgm2d  38818  amgm3d  38819  amgm4d  38820  isringrng  42206  rngcl  42208  isrnghmmul  42218  rnghmf1o  42228  idrnghm  42233  c0rhm  42237  c0rnghm  42238  lidlmmgm  42250  lidlmsgrp  42251  2zrngmmgm  42271  2zrngmsgrp  42272  2zrngnring  42277  cznrng  42280  cznnring  42281  mgpsumunsn  42465  mgpsumz  42466  mgpsumn  42467  invginvrid  42473  ply1vr1smo  42494  ply1mulgsumlem4  42502  ply1mulgsum  42503  amgmlemALT  42877  amgmw2d  42878
  Copyright terms: Public domain W3C validator