Theorem mexval2 31705

Description: The set of expressions, which are pairs whose first element is a typecode, and whose second element is a list of constants and variables. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mexval.k	⊢ 𝐾 = (mTC‘𝑇)
mexval.e	⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mexval2.c	⊢ 𝐶 = (mCN‘𝑇)
mexval2.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mexval2	⊢ 𝐸 = (𝐾 × Word (𝐶 ∪ 𝑉))

Proof of Theorem mexval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mexval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mTC‘𝑇)
2		mexval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
3		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (mREx‘𝑇) = (mREx‘𝑇)
4	1, 2, 3	mexval 31704	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝐾 × (mREx‘𝑇))
5		mexval2.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (mCN‘𝑇)
6		mexval2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
7	5, 6, 3	mrexval 31703	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → (mREx‘𝑇) = Word (𝐶 ∪ 𝑉))
8	7	xpeq2d 5294	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ V → (𝐾 × (mREx‘𝑇)) = (𝐾 × Word (𝐶 ∪ 𝑉)))
9	4, 8	syl5eq 2804	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝐸 = (𝐾 × Word (𝐶 ∪ 𝑉)))
10		0xp 5354	. . . 4 ⊢ (∅ × Word (𝐶 ∪ 𝑉)) = ∅
11	10	eqcomi 2767	. . 3 ⊢ ∅ = (∅ × Word (𝐶 ∪ 𝑉))
12		fvprc 6344	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → (mEx‘𝑇) = ∅)
13	2, 12	syl5eq 2804	. . 3 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → 𝐸 = ∅)
14		fvprc 6344	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → (mTC‘𝑇) = ∅)
15	1, 14	syl5eq 2804	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → 𝐾 = ∅)
16	15	xpeq1d 5293	. . 3 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → (𝐾 × Word (𝐶 ∪ 𝑉)) = (∅ × Word (𝐶 ∪ 𝑉)))
17	11, 13, 16	3eqtr4a 2818	. 2 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → 𝐸 = (𝐾 × Word (𝐶 ∪ 𝑉)))
18	9, 17	pm2.61i 176	1 ⊢ 𝐸 = (𝐾 × Word (𝐶 ∪ 𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1630   ∈ wcel 2137  Vcvv 3338   ∪ cun 3711  ∅c0 4056   × cxp 5262  ‘cfv 6047  Word cword 13475  mCNcmcn 31662  mVRcmvar 31663  mTCcmtc 31666  mRExcmrex 31668  mExcmex 31669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-card 8953  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-hash 13310  df-word 13483  df-mrex 31688  df-mex 31689

This theorem is referenced by:  mvrsfpw  31708