MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustfbas 22409
Description: The filter base generated by a metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
Assertion
Ref Expression
metustfbas ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎   𝑋,𝑎   𝐹,𝑎

Proof of Theorem metustfbas
Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . . . . 7 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
21metustel 22402 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥𝐹 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
3 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
4 cnvimass 5520 . . . . . . . . . 10 (𝐷 “ (0[,)𝑎)) ⊆ dom 𝐷
5 psmetf 22158 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
6 fdm 6089 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
94, 8syl5sseq 3686 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (𝐷 “ (0[,)𝑎)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
103, 9eqsstrd 3672 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
1110ex 449 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)) → 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋)))
1211rexlimdvw 3063 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)) → 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋)))
132, 12sylbid 230 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋)))
1413ralrimiv 2994 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∀𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
15 pwssb 4644 . . . 4 (𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ↔ ∀𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
1614, 15sylibr 224 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
1716adantl 481 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
18 cnvexg 7154 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ V)
19 imaexg 7145 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ V → (𝐷 “ (0[,)1)) ∈ V)
20 elisset 3246 . . . . . . 7 ((𝐷 “ (0[,)1)) ∈ V → ∃𝑥 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1)))
21 1rp 11874 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
22 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 1 → (0[,)𝑎) = (0[,)1))
2322imaeq2d 5501 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 1 → (𝐷 “ (0[,)𝑎)) = (𝐷 “ (0[,)1)))
2423eqeq2d 2661 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 1 → (𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)) ↔ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1))))
2524rspcev 3340 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ+𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1))) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
2621, 25mpan 706 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1)) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
2726eximi 1802 . . . . . . 7 (∃𝑥 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1)) → ∃𝑥𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
2818, 19, 20, 274syl 19 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∃𝑥𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
292exbidv 1890 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥𝐹 ↔ ∃𝑥𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
3028, 29mpbird 247 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∃𝑥 𝑥𝐹)
3130adantl 481 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∃𝑥 𝑥𝐹)
32 n0 3964 . . . 4 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐹)
3331, 32sylibr 224 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ≠ ∅)
341metustid 22406 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑥)
3534adantll 750 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑥𝐹) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑥)
36 n0 3964 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝𝑋)
3736biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑝 𝑝𝑋)
3837adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∃𝑝 𝑝𝑋)
39 opelresi 5443 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝑋 → (⟨𝑝, 𝑝⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋) ↔ 𝑝𝑋))
4039ibir 257 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝑋 → ⟨𝑝, 𝑝⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋))
41 ne0i 3954 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑝, 𝑝⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑋 → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
4342exlimiv 1898 . . . . . . . 8 (∃𝑝 𝑝𝑋 → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
4438, 43syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
4544adantr 480 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑥𝐹) → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
46 ssn0 4009 . . . . . 6 ((( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑥 ∧ ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
4735, 45, 46syl2anc 694 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ≠ ∅)
4847nelrdva 3450 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
49 df-nel 2927 . . . 4 (∅ ∉ 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹)
5048, 49sylibr 224 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∅ ∉ 𝐹)
51 df-ss 3621 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 ↔ (𝑥𝑦) = 𝑥)
5251biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦 → (𝑥𝑦) = 𝑥)
5352adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦) = 𝑥)
54 simplrl 817 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐹)
5553, 54eqeltrd 2730 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
56 sseqin2 3850 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑥 ↔ (𝑥𝑦) = 𝑦)
5756biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝑦𝑥 → (𝑥𝑦) = 𝑦)
5857adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑥𝑦) = 𝑦)
59 simplrr 818 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐹)
6058, 59eqeltrd 2730 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
61 simplr 807 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
62 simprl 809 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → 𝑥𝐹)
63 simprr 811 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → 𝑦𝐹)
641metustto 22405 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
6561, 62, 63, 64syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
6655, 60, 65mpjaodan 844 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
67 vex 3234 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
6867inex1 4832 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦) ∈ V
6968pwid 4207 . . . . . . 7 (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 (𝑥𝑦)
7069a1i 11 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 (𝑥𝑦))
7170elpwid 4203 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦))
72 sseq1 3659 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥𝑦) → (𝑧 ⊆ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)))
7372rspcev 3340 . . . . 5 (((𝑥𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)) → ∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
7466, 71, 73syl2anc 694 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → ∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
7574ralrimivva 3000 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
7633, 50, 753jca 1261 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
77 elfvex 6259 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
7877adantl 481 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝑋 ∈ V)
79 xpexg 7002 . . . 4 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑋 × 𝑋) ∈ V)
8078, 78, 79syl2anc 694 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑋 × 𝑋) ∈ V)
81 isfbas2 21686 . . 3 ((𝑋 × 𝑋) ∈ V → (𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
8280, 81syl 17 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
8317, 76, 82mpbir2and 977 1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wnel 2926  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  cop 4216  cmpt 4762   I cid 5052   × cxp 5141  ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  cima 5146  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975  *cxr 10111  +crp 11870  [,)cico 12215  PsMetcpsmet 19778  fBascfbas 19782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-rp 11871  df-ico 12219  df-psmet 19786  df-fbas 19791
This theorem is referenced by:  metust  22410  cfilucfil  22411  metuel  22416  psmetutop  22419  restmetu  22422  metucn  22423
  Copyright terms: Public domain W3C validator