MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metust Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metust 22556
Description: The uniform structure generated by a metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
Assertion
Ref Expression
metust ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOn‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎   𝑋,𝑎   𝐹,𝑎

Proof of Theorem metust
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
21metustfbas 22555 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)))
3 fgcl 21875 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)))
4 filsspw 21848 . . 3 (((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
52, 3, 43syl 18 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
6 filtop 21852 . . 3 (((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)) → (𝑋 × 𝑋) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
72, 3, 63syl 18 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑋 × 𝑋) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
82, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)))
98ad3antrrr 768 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣𝑤) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)))
10 simpllr 817 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
11 simplr 809 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
1211elpwid 4306 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑤 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
13 simpr 479 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑣𝑤)
14 filss 21850 . . . . . . 7 ((((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ 𝑣𝑤)) → 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
159, 10, 12, 13, 14syl13anc 1475 . . . . . 6 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣𝑤) → 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
1615ex 449 . . . . 5 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)) → (𝑣𝑤𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)))
1716ralrimiva 3096 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)))
188ad2antrr 764 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)))
19 simplr 809 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
20 simpr 479 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
21 filin 21851 . . . . . 6 ((((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → (𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1473 . . . . 5 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → (𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
2322ralrimiva 3096 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ∀𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
241metustid 22552 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑢𝐹) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑢)
2524ad5ant24 1221 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑢)
26 simpr 479 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢𝑣)
2725, 26sstrd 3746 . . . . . 6 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣)
28 elfg 21868 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) → (𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ↔ (𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑢𝐹 𝑢𝑣)))
2928biimpa 502 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → (𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑢𝐹 𝑢𝑣))
3029simprd 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ∃𝑢𝐹 𝑢𝑣)
312, 30sylan 489 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ∃𝑢𝐹 𝑢𝑣)
3227, 31r19.29a 3208 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣)
338ad3antrrr 768 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)))
342adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)))
35 ssfg 21869 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) → 𝐹 ⊆ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝐹 ⊆ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
3736ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝐹 ⊆ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
38 simplr 809 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢𝐹)
3937, 38sseldd 3737 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
4029simpld 477 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
412, 40sylan 489 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
4241ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
43 cnvss 5442 . . . . . . . . 9 (𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → 𝑣(𝑋 × 𝑋))
44 cnvxp 5701 . . . . . . . . 9 (𝑋 × 𝑋) = (𝑋 × 𝑋)
4543, 44syl6sseq 3784 . . . . . . . 8 (𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → 𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
4642, 45syl 17 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
471metustsym 22553 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑢𝐹) → 𝑢 = 𝑢)
4847ad5ant24 1221 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢 = 𝑢)
49 cnvss 5442 . . . . . . . . 9 (𝑢𝑣𝑢𝑣)
5049adantl 473 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢𝑣)
5148, 50eqsstr3d 3773 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢𝑣)
52 filss 21850 . . . . . . 7 ((((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (Fil‘(𝑋 × 𝑋)) ∧ (𝑢 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ 𝑣 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ 𝑢𝑣)) → 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
5333, 39, 46, 51, 52syl13anc 1475 . . . . . 6 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
5453, 31r19.29a 3208 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹))
551metustexhalf 22554 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑢𝐹) → ∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑢)
5655ad4ant13 1204 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → ∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑢)
57 r19.41v 3219 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐹 ((𝑤𝑤) ⊆ 𝑢𝑢𝑣) ↔ (∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑢𝑢𝑣))
58 sstr 3744 . . . . . . . . . 10 (((𝑤𝑤) ⊆ 𝑢𝑢𝑣) → (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)
5958reximi 3141 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐹 ((𝑤𝑤) ⊆ 𝑢𝑢𝑣) → ∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)
6057, 59sylbir 225 . . . . . . . 8 ((∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑢𝑢𝑣) → ∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)
6156, 26, 60syl2anc 696 . . . . . . 7 (((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑢𝐹) ∧ 𝑢𝑣) → ∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)
6261, 31r19.29a 3208 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)
63 ssrexv 3800 . . . . . 6 (𝐹 ⊆ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) → (∃𝑤𝐹 (𝑤𝑤) ⊆ 𝑣 → ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣))
6436, 62, 63sylc 65 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)
6532, 54, 643jca 1122 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣))
6617, 23, 653jca 1122 . . 3 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) → (∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ ∀𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)))
6766ralrimiva 3096 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∀𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ ∀𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)))
68 elfvex 6374 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
6968adantl 473 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝑋 ∈ V)
70 isust 22200 . . 3 (𝑋 ∈ V → (((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOn‘𝑋) ↔ (((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∀𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ ∀𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)))))
7169, 70syl 17 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOn‘𝑋) ↔ (((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∀𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(∀𝑤 ∈ 𝒫 (𝑋 × 𝑋)(𝑣𝑤𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)) ∧ ∀𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑣𝑤) ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ (( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑣𝑣 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∧ ∃𝑤 ∈ ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹)(𝑤𝑤) ⊆ 𝑣)))))
725, 7, 67, 71mpbir3and 1425 1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ((𝑋 × 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOn‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wral 3042  wrex 3043  Vcvv 3332  cin 3706  wss 3707  c0 4050  𝒫 cpw 4294  cmpt 4873   I cid 5165   × cxp 5256  ccnv 5257  ran crn 5259  cres 5260  cima 5261  ccom 5262  cfv 6041  (class class class)co 6805  0cc0 10120  +crp 12017  [,)cico 12362  PsMetcpsmet 19924  fBascfbas 19928  filGencfg 19929  Filcfil 21842  UnifOncust 22196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-2 11263  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ico 12366  df-psmet 19932  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-fil 21843  df-ust 22197
This theorem is referenced by:  cfilucfil  22557  metuust  22558  metucn  22569
  Copyright terms: Public domain W3C validator