MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metuel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metuel2 22417
Description: Elementhood in the uniform structure generated by a metric 𝐷 (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metuel2.u 𝑈 = (metUnif‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metuel2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑉𝑈 ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑𝑥𝑉𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑑,𝑦,𝐷   𝑉,𝑑,𝑥,𝑦   𝑋,𝑑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦,𝑑)

Proof of Theorem metuel2
Dummy variables 𝑎 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metuel2.u . . . 4 𝑈 = (metUnif‘𝐷)
21eleq2i 2722 . . 3 (𝑉𝑈𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷))
32a1i 11 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑉𝑈𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷)))
4 metuel 22416 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))𝑤𝑉)))
5 vex 3234 . . . . . . . . . . 11 𝑤 ∈ V
6 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑑 → (0[,)𝑎) = (0[,)𝑑))
76imaeq2d 5501 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑑 → (𝐷 “ (0[,)𝑎)) = (𝐷 “ (0[,)𝑑)))
87cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) = (𝑑 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑑)))
98elrnmpt 5404 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑))))
105, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)))
1110anbi1i 731 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) ∧ 𝑤𝑉) ↔ (∃𝑑 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉))
12 r19.41v 3118 . . . . . . . . 9 (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉) ↔ (∃𝑑 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉))
1311, 12bitr4i 267 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) ∧ 𝑤𝑉) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉))
1413exbii 1814 . . . . . . 7 (∃𝑤(𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) ∧ 𝑤𝑉) ↔ ∃𝑤𝑑 ∈ ℝ+ (𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉))
15 df-rex 2947 . . . . . . 7 (∃𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))𝑤𝑉 ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) ∧ 𝑤𝑉))
16 rexcom4 3256 . . . . . . 7 (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑤(𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉) ↔ ∃𝑤𝑑 ∈ ℝ+ (𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉))
1714, 15, 163bitr4i 292 . . . . . 6 (∃𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))𝑤𝑉 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑤(𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉))
18 cnvexg 7154 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ V)
19 imaexg 7145 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ V → (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∈ V)
20 sseq1 3659 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) → (𝑤𝑉 ↔ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ 𝑉))
2120ceqsexgv 3366 . . . . . . . . 9 ((𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∈ V → (∃𝑤(𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉) ↔ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ 𝑉))
2218, 19, 213syl 18 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (∃𝑤(𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉) ↔ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ 𝑉))
2322rexbidv 3081 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑤(𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ 𝑉))
2423adantr 480 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑤(𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ 𝑉))
2517, 24syl5bb 272 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))𝑤𝑉 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ 𝑉))
26 cnvimass 5520 . . . . . . . . 9 (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ dom 𝐷
27 simpll 805 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
28 psmetf 22158 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
29 fdm 6089 . . . . . . . . . 10 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
3027, 28, 293syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
3126, 30syl5sseq 3686 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
32 ssrel2 5244 . . . . . . . 8 ((𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ (𝑋 × 𝑋) → ((𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ 𝑉 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑉)))
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ 𝑉 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑉)))
34 simplr 807 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑥𝑋)
35 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
36 opelxp 5180 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝑥𝑋𝑦𝑋))
3734, 35, 36sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
3837biantrurd 528 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝐷‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ (0[,)𝑑) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ (0[,)𝑑))))
39 simp-4l 823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
40 psmetcl 22159 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
4139, 34, 35, 40syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
42413biant1d 1481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((0 ≤ (𝑥𝐷𝑦) ∧ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑑) ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦) ∧ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑑)))
43 psmetge0 22164 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
4443biantrurd 528 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 ↔ (0 ≤ (𝑥𝐷𝑦) ∧ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑑)))
4539, 34, 35, 44syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 ↔ (0 ≤ (𝑥𝐷𝑦) ∧ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑑)))
46 0xr 10124 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
47 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑑 ∈ ℝ+)
4847rpxrd 11911 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑑 ∈ ℝ*)
49 elico1 12256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ*𝑑 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ (0[,)𝑑) ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦) ∧ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑑)))
5046, 48, 49sylancr 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ (0[,)𝑑) ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦) ∧ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑑)))
5142, 45, 503bitr4d 300 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 ↔ (𝑥𝐷𝑦) ∈ (0[,)𝑑)))
52 df-ov 6693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐷𝑦) = (𝐷‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
5352eleq1i 2721 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐷𝑦) ∈ (0[,)𝑑) ↔ (𝐷‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ (0[,)𝑑))
5451, 53syl6bb 276 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 ↔ (𝐷‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ (0[,)𝑑)))
55 ffn 6083 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
56 elpreima 6377 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ (0[,)𝑑))))
5739, 28, 55, 564syl 19 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ (0[,)𝑑))))
5838, 54, 573bitr4d 300 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑑))))
5958anasss 680 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑑))))
60 df-br 4686 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑉𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑉)
6160a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑉𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑉))
6259, 61imbi12d 333 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑𝑥𝑉𝑦) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑉)))
63622ralbidva 3017 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑𝑥𝑉𝑦) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑉)))
6433, 63bitr4d 271 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ 𝑉 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑𝑥𝑉𝑦)))
6564rexbidva 3078 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ 𝑉 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑𝑥𝑉𝑦)))
6625, 65bitrd 268 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))𝑤𝑉 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑𝑥𝑉𝑦)))
6766pm5.32da 674 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ((𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))𝑤𝑉) ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑𝑥𝑉𝑦))))
6867adantl 481 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ((𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))𝑤𝑉) ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑𝑥𝑉𝑦))))
693, 4, 683bitrd 294 1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑉𝑈 ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑𝑥𝑉𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948  cop 4216   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  cima 5146   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  +crp 11870  [,)cico 12215  PsMetcpsmet 19778  metUnifcmetu 19785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ico 12219  df-psmet 19786  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-metu 19793
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator