MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metnrmlem2 22856
Description: Lemma for metnrm 22858. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ∅)
metnrmlem.u 𝑈 = 𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2))
Assertion
Ref Expression
metnrmlem2 (𝜑 → (𝑈𝐽𝑇𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑡,𝐷   𝑡,𝐽,𝑦   𝜑,𝑡   𝑡,𝑇,𝑥,𝑦   𝑡,𝑆,𝑥,𝑦   𝑡,𝑋,𝑥,𝑦   𝑡,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑡)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem2
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.u . . 3 𝑈 = 𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2))
2 metnrmlem.1 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 metdscn.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
43mopntop 22438 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
62adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
8 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 𝐽
98cldss 21027 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 𝐽)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 𝐽)
113mopnuni 22439 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
122, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 = 𝐽)
1310, 12sseqtr4d 3775 . . . . . . 7 (𝜑𝑇𝑋)
1413sselda 3736 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑋)
15 metdscn.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
16 metnrmlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
17 metnrmlem.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ∅)
1815, 3, 2, 16, 7, 17metnrmlem1a 22854 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (0 < (𝐹𝑡) ∧ if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) ∈ ℝ+))
1918simprd 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) ∈ ℝ+)
2019rphalfcld 12069 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2) ∈ ℝ+)
2120rpxrd 12058 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2) ∈ ℝ*)
223blopn 22498 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑡𝑋 ∧ (if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2) ∈ ℝ*) → (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
236, 14, 21, 22syl3anc 1473 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
2423ralrimiva 3096 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
25 iunopn 20897 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽) → 𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
265, 24, 25syl2anc 696 . . 3 (𝜑 𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
271, 26syl5eqel 2835 . 2 (𝜑𝑈𝐽)
28 blcntr 22411 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑡𝑋 ∧ (if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2) ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)))
296, 14, 20, 28syl3anc 1473 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)))
3029snssd 4477 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)))
3130ralrimiva 3096 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)))
32 ss2iun 4680 . . . 4 (∀𝑡𝑇 {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) → 𝑡𝑇 {𝑡} ⊆ 𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)))
3331, 32syl 17 . . 3 (𝜑 𝑡𝑇 {𝑡} ⊆ 𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)))
34 iunid 4719 . . . 4 𝑡𝑇 {𝑡} = 𝑇
3534eqcomi 2761 . . 3 𝑇 = 𝑡𝑇 {𝑡}
3633, 35, 13sstr4g 3779 . 2 (𝜑𝑇𝑈)
3727, 36jca 555 1 (𝜑 → (𝑈𝐽𝑇𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  cin 3706  wss 3707  c0 4050  ifcif 4222  {csn 4313   cuni 4580   ciun 4664   class class class wbr 4796  cmpt 4873  ran crn 5259  cfv 6041  (class class class)co 6805  infcinf 8504  0cc0 10120  1c1 10121  *cxr 10257   < clt 10258  cle 10259   / cdiv 10868  2c2 11254  +crp 12017  ∞Metcxmt 19925  ballcbl 19927  MetOpencmopn 19930  Topctop 20892  Clsdccld 21014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-icc 12367  df-topgen 16298  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-top 20893  df-topon 20910  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019
This theorem is referenced by:  metnrmlem3  22857
  Copyright terms: Public domain W3C validator