Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metnrmlem1a 22882
 Description: Lemma for metnrm 22886. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ∅)
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1a ((𝜑𝐴𝑇) → (0 < (𝐹𝐴) ∧ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ+))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem1a
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.4 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ∅)
21adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → (𝑆𝑇) = ∅)
3 inelcm 4176 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝐴𝑇) → (𝑆𝑇) ≠ ∅)
43expcom 450 . . . . . . 7 (𝐴𝑇 → (𝐴𝑆 → (𝑆𝑇) ≠ ∅))
54adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑇) → (𝐴𝑆 → (𝑆𝑇) ≠ ∅))
65necon2bd 2948 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → ((𝑆𝑇) = ∅ → ¬ 𝐴𝑆))
72, 6mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → ¬ 𝐴𝑆)
8 eqcom 2767 . . . . . 6 (0 = (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴) = 0)
9 metnrmlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
109adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11 metnrmlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
1211adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
13 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 𝐽
1413cldss 21055 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 𝐽)
1512, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑆 𝐽)
16 metdscn.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
1716mopnuni 22467 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
1810, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑋 = 𝐽)
1915, 18sseqtr4d 3783 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑆𝑋)
20 metnrmlem.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
2120adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
2213cldss 21055 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 𝐽)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑇 𝐽)
2423, 18sseqtr4d 3783 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑇𝑋)
25 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)
2624, 25sseldd 3745 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝐴𝑋)
27 metdscn.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2827, 16metdseq0 22878 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
2910, 19, 26, 28syl3anc 1477 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑇) → ((𝐹𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
308, 29syl5bb 272 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 = (𝐹𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
31 cldcls 21068 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
3212, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑇) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
3332eleq2d 2825 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝐴𝑆))
3430, 33bitrd 268 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 = (𝐹𝐴) ↔ 𝐴𝑆))
357, 34mtbird 314 . . 3 ((𝜑𝐴𝑇) → ¬ 0 = (𝐹𝐴))
3627metdsf 22872 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3710, 19, 36syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3837, 26ffvelrnd 6524 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑇) → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
39 elxrge0 12494 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐴)))
4039simprbi 483 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
4138, 40syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
42 0xr 10298 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
4339simplbi 478 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
4438, 43syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑇) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
45 xrleloe 12190 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
4642, 44, 45sylancr 698 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
4741, 46mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴)))
4847ord 391 . . 3 ((𝜑𝐴𝑇) → (¬ 0 < (𝐹𝐴) → 0 = (𝐹𝐴)))
4935, 48mt3d 140 . 2 ((𝜑𝐴𝑇) → 0 < (𝐹𝐴))
50 1re 10251 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5150rexri 10309 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
52 ifcl 4274 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ*)
5351, 44, 52sylancr 698 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ*)
54 1red 10267 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → 1 ∈ ℝ)
55 0lt1 10762 . . . . . 6 0 < 1
56 breq2 4808 . . . . . . 7 (1 = if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) → (0 < 1 ↔ 0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴))))
57 breq2 4808 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) = if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) → (0 < (𝐹𝐴) ↔ 0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴))))
5856, 57ifboth 4268 . . . . . 6 ((0 < 1 ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)))
5955, 49, 58sylancr 698 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → 0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)))
60 xrltle 12195 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ*) → (0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴))))
6142, 53, 60sylancr 698 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴))))
6259, 61mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)))
63 xrmin1 12221 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ≤ 1)
6451, 44, 63sylancr 698 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ≤ 1)
65 xrrege0 12218 . . . 4 (((if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∧ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ≤ 1)) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
6653, 54, 62, 64, 65syl22anc 1478 . . 3 ((𝜑𝐴𝑇) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
6766, 59elrpd 12082 . 2 ((𝜑𝐴𝑇) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ+)
6849, 67jca 555 1 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 < (𝐹𝐴) ∧ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ+))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ifcif 4230  ∪ cuni 4588   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ran crn 5267  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  infcinf 8514  ℝcr 10147  0cc0 10148  1c1 10149  +∞cpnf 10283  ℝ*cxr 10285   < clt 10286   ≤ cle 10287  ℝ+crp 12045  [,]cicc 12391  ∞Metcxmt 19953  MetOpencmopn 19958  Clsdccld 21042  clsccl 21044 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-icc 12395  df-topgen 16326  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-top 20921  df-topon 20938  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047 This theorem is referenced by:  metnrmlem2  22884  metnrmlem3  22885
 Copyright terms: Public domain W3C validator