MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metnrmlem1 22882
Description: Lemma for metnrm 22885. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ∅)
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem1
StepHypRef Expression
1 1re 10241 . . . 4 1 ∈ ℝ
21rexri 10299 . . 3 1 ∈ ℝ*
3 metnrmlem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
43adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 metnrmlem.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
65adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
7 eqid 2771 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
87cldss 21054 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 𝐽)
96, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑆 𝐽)
10 metdscn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
1110mopnuni 22466 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
124, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑋 = 𝐽)
139, 12sseqtr4d 3791 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑆𝑋)
14 metdscn.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
1514metdsf 22871 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
164, 13, 15syl2anc 573 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
17 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
1817adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
197cldss 21054 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 𝐽)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑇 𝐽)
2120, 12sseqtr4d 3791 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑇𝑋)
22 simprr 756 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐵𝑇)
2321, 22sseldd 3753 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐵𝑋)
2416, 23ffvelrnd 6503 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞))
25 elxrge0 12488 . . . . 5 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)))
2625simplbi 485 . . . 4 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
2724, 26syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
28 ifcl 4269 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ∈ ℝ*)
292, 27, 28sylancr 575 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ∈ ℝ*)
30 simprl 754 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐴𝑆)
3113, 30sseldd 3753 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐴𝑋)
32 xmetcl 22356 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
334, 31, 23, 32syl3anc 1476 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
34 xrmin2 12214 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ≤ (𝐹𝐵))
352, 27, 34sylancr 575 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ≤ (𝐹𝐵))
3614metdstri 22874 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐹𝐵) ≤ ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐹𝐴)))
374, 13, 23, 31, 36syl22anc 1477 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐹𝐵) ≤ ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐹𝐴)))
38 xmetsym 22372 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
394, 23, 31, 38syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
4014metds0 22873 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) = 0)
414, 13, 30, 40syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐹𝐴) = 0)
4239, 41oveq12d 6811 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐹𝐴)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0))
43 xaddid1 12277 . . . . 5 ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐵))
4433, 43syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐵))
4542, 44eqtrd 2805 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐹𝐴)) = (𝐴𝐷𝐵))
4637, 45breqtrd 4812 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐹𝐵) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
4729, 27, 33, 35, 46xrletrd 12198 1 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cin 3722  wss 3723  c0 4063  ifcif 4225   cuni 4574   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ran crn 5250  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  infcinf 8503  0cc0 10138  1c1 10139  +∞cpnf 10273  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277   +𝑒 cxad 12149  [,]cicc 12383  ∞Metcxmt 19946  MetOpencmopn 19951  Clsdccld 21041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-ec 7898  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-icc 12387  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-cld 21044
This theorem is referenced by:  metnrmlem3  22884
  Copyright terms: Public domain W3C validator