MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  methaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem methaus 22372
Description: The topology generated by a metric space is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
methaus (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)

Proof of Theorem methaus
Dummy variables 𝑛 𝑑 𝑥 𝑦 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopnex 22371 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))
3 metxmet 22186 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋))
43ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 simplrl 817 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑋)
6 metcl 22184 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℝ)
763expb 1285 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℝ)
9 metgt0 22211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑦 ↔ 0 < (𝑥𝑑𝑦)))
1093expb 1285 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑦 ↔ 0 < (𝑥𝑑𝑦)))
1110biimpa 500 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → 0 < (𝑥𝑑𝑦))
128, 11elrpd 11907 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℝ+)
1312rphalfcld 11922 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+)
1413rpxrd 11911 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*)
15 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘𝑑) = (MetOpen‘𝑑)
1615blopn 22352 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑))
174, 5, 14, 16syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑))
18 simplrr 818 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦𝑋)
1915blopn 22352 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋 ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑))
204, 18, 14, 19syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑))
21 blcntr 22265 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
224, 5, 13, 21syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
23 blcntr 22265 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋 ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
244, 18, 13, 23syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
2513rpred 11910 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ)
26 rexadd 12101 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) = (((𝑥𝑑𝑦) / 2) + ((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
2725, 25, 26syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) = (((𝑥𝑑𝑦) / 2) + ((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
288recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℂ)
29282halvesd 11316 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) + ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) = (𝑥𝑑𝑦))
3027, 29eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) = (𝑥𝑑𝑦))
318leidd 10632 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑑𝑦) ≤ (𝑥𝑑𝑦))
3230, 31eqbrtrd 4707 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ≤ (𝑥𝑑𝑦))
33 bldisj 22250 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) ∧ (((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ* ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ* ∧ (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ≤ (𝑥𝑑𝑦))) → ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅)
344, 5, 18, 14, 14, 32, 33syl33anc 1381 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅)
35 eleq2 2719 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → (𝑥𝑚𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))))
36 ineq1 3840 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → (𝑚𝑛) = ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛))
3736eqeq1d 2653 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → ((𝑚𝑛) = ∅ ↔ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ∅))
3835, 373anbi13d 1441 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → ((𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦𝑛 ∧ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ∅)))
39 eleq2 2719 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → (𝑦𝑛𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))))
40 ineq2 3841 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))))
4140eqeq1d 2653 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → (((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ∅ ↔ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅))
4239, 413anbi23d 1442 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → ((𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦𝑛 ∧ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅)))
4338, 42rspc2ev 3355 . . . . . . . 8 (((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑) ∧ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑) ∧ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅)) → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
4417, 20, 22, 24, 34, 43syl113anc 1378 . . . . . . 7 (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑥𝑦) → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
4544ex 449 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
4645ralrimivva 3000 . . . . 5 (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
4715mopntopon 22291 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝑑) ∈ (TopOn‘𝑋))
48 ishaus2 21203 . . . . . 6 ((MetOpen‘𝑑) ∈ (TopOn‘𝑋) → ((MetOpen‘𝑑) ∈ Haus ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
493, 47, 483syl 18 . . . . 5 (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → ((MetOpen‘𝑑) ∈ Haus ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
5046, 49mpbird 247 . . . 4 (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝑑) ∈ Haus)
51 eleq1 2718 . . . 4 (𝐽 = (MetOpen‘𝑑) → (𝐽 ∈ Haus ↔ (MetOpen‘𝑑) ∈ Haus))
5250, 51syl5ibrcom 237 . . 3 (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐽 = (MetOpen‘𝑑) → 𝐽 ∈ Haus))
5352rexlimiv 3056 . 2 (∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑) → 𝐽 ∈ Haus)
542, 53syl 17 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cin 3606  c0 3948   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  2c2 11108  +crp 11870   +𝑒 cxad 11982  ∞Metcxmt 19779  Metcme 19780  ballcbl 19781  MetOpencmopn 19784  TopOnctopon 20763  Hauscha 21160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-haus 21167
This theorem is referenced by:  cnfldhaus  22635  rehaus  22649  metreg  22713  lmcau  23157  cmetss  23159  minveclem4a  23247  minvecolem4a  27861  minvecolem4b  27862  minvecolem4  27864  hlimf  28222  hmopidmchi  29138  rrhcn  30169  rrexthaus  30179  sitmcl  30541  heiborlem9  33748  bfplem1  33751
  Copyright terms: Public domain W3C validator