MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdsre 22857
Description: The distance from a point to a nonempty set in a proper metric space is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdsre ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdsre
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4074 . . 3 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝑆)
2 metxmet 22340 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 metdscn.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
43metdsf 22852 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
52, 4sylan 489 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
65adantr 472 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑧𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
7 ffn 6206 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → 𝐹 Fn 𝑋)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑧𝑆) → 𝐹 Fn 𝑋)
95adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
10 simprr 813 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → 𝑤𝑋)
119, 10ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) ∈ (0[,]+∞))
12 elxrge0 12474 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑤) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑤)))
1312simplbi 478 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑤) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ*)
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ*)
15 simpll 807 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
16 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆𝑋)
1716sselda 3744 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝑋)
1817adantrr 755 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → 𝑧𝑋)
19 metcl 22338 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑤𝑋) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ)
2015, 18, 10, 19syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ)
2112simprbi 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑤) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝑤))
2211, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → 0 ≤ (𝐹𝑤))
233metdsle 22856 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) ≤ (𝑧𝐷𝑤))
242, 23sylanl1 685 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) ≤ (𝑧𝐷𝑤))
25 xrrege0 12198 . . . . . . . . 9 ((((𝐹𝑤) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑤) ∧ (𝐹𝑤) ≤ (𝑧𝐷𝑤))) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
2614, 20, 22, 24, 25syl22anc 1478 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
2726anassrs 683 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑤𝑋) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
2827ralrimiva 3104 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑧𝑆) → ∀𝑤𝑋 (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
29 ffnfv 6551 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑤𝑋 (𝐹𝑤) ∈ ℝ))
308, 28, 29sylanbrc 701 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑧𝑆) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
3130ex 449 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑧𝑆𝐹:𝑋⟶ℝ))
3231exlimdv 2010 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∃𝑧 𝑧𝑆𝐹:𝑋⟶ℝ))
331, 32syl5bi 232 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆 ≠ ∅ → 𝐹:𝑋⟶ℝ))
34333impia 1110 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wss 3715  c0 4058   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ran crn 5267   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  infcinf 8512  cr 10127  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  [,]cicc 12371  ∞Metcxmt 19933  Metcme 19934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-er 7911  df-ec 7913  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-2 11271  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-icc 12375  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943
This theorem is referenced by:  metdscn2  22861  lebnumlem1  22961  lebnumlem3  22963
  Copyright terms: Public domain W3C validator