MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdseq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdseq0 22858
Description: The distance from a point to a set is zero iff the point is in the closure set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metdseq0 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metdseq0
Dummy variables 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1255 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 simprl 811 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) → 𝑧𝐽)
3 simprr 813 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) → 𝐴𝑧)
4 metdscn.j . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
54mopni2 22499 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝐽𝐴𝑧) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
61, 2, 3, 5syl3anc 1477 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
7 simprr 813 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
8 ssrin 3981 . . . . . . . 8 ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧 → ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ⊆ (𝑧𝑆))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ⊆ (𝑧𝑆))
10 rpgt0 12037 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
11 0re 10232 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
12 rpre 12032 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
13 ltnle 10309 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (0 < 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 ≤ 0))
1411, 12, 13sylancr 698 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+ → (0 < 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 ≤ 0))
1510, 14mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ → ¬ 𝑟 ≤ 0)
1615ad2antrl 766 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ¬ 𝑟 ≤ 0)
17 simpllr 817 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝐹𝐴) = 0)
1817breq2d 4816 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 ≤ (𝐹𝐴) ↔ 𝑟 ≤ 0))
191adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
20 simpl2 1230 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝑆𝑋)
2120ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → 𝑆𝑋)
22 simpl3 1232 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐴𝑋)
2322ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → 𝐴𝑋)
24 rpxr 12033 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
2524ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
26 metdscn.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2726metdsge 22853 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑟 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ∅))
2819, 21, 23, 25, 27syl31anc 1480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ∅))
2918, 28bitr3d 270 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 ≤ 0 ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ∅))
30 incom 3948 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆)
3130eqeq1i 2765 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ∅ ↔ ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) = ∅)
3229, 31syl6bb 276 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 ≤ 0 ↔ ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) = ∅))
3332necon3bbid 2969 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (¬ 𝑟 ≤ 0 ↔ ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ≠ ∅))
3416, 33mpbid 222 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ≠ ∅)
35 ssn0 4119 . . . . . . 7 ((((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ⊆ (𝑧𝑆) ∧ ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑧𝑆) ≠ ∅)
369, 34, 35syl2anc 696 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑧𝑆) ≠ ∅)
376, 36rexlimddv 3173 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) → (𝑧𝑆) ≠ ∅)
3837expr 644 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ 𝑧𝐽) → (𝐴𝑧 → (𝑧𝑆) ≠ ∅))
3938ralrimiva 3104 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → ∀𝑧𝐽 (𝐴𝑧 → (𝑧𝑆) ≠ ∅))
404mopntopon 22445 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
41403ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4241adantr 472 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
43 topontop 20920 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
4442, 43syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐽 ∈ Top)
45 toponuni 20921 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
4642, 45syl 17 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝑋 = 𝐽)
4720, 46sseqtrd 3782 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝑆 𝐽)
4822, 46eleqtrd 2841 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐴 𝐽)
49 eqid 2760 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
5049elcls 21079 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽𝐴 𝐽) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑧𝐽 (𝐴𝑧 → (𝑧𝑆) ≠ ∅)))
5144, 47, 48, 50syl3anc 1477 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑧𝐽 (𝐴𝑧 → (𝑧𝑆) ≠ ∅)))
5239, 51mpbird 247 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
53 incom 3948 . . . . . . 7 ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
5426metdsf 22852 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5554ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
56553impa 1101 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
57 elxrge0 12474 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐴)))
5857simplbi 478 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
5956, 58syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
60 xrleid 12176 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* → (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴))
6159, 60syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴))
6226metdsge 22853 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅))
6359, 62mpdan 705 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅))
6461, 63mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅)
6553, 64syl5eq 2806 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) = ∅)
6665adantr 472 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) = ∅)
6741ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6867, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐽 ∈ Top)
69 simpll2 1257 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝑆𝑋)
7067, 45syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝑋 = 𝐽)
7169, 70sseqtrd 3782 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝑆 𝐽)
72 simplr 809 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
73 simpll1 1255 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
74 simpll3 1259 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴𝑋)
7559ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
764blopn 22506 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∈ 𝐽)
7773, 74, 75, 76syl3anc 1477 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∈ 𝐽)
78 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 0 < (𝐹𝐴))
79 xblcntr 22417 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐹𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
8073, 74, 75, 78, 79syl112anc 1481 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
8149clsndisj 21081 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∈ 𝐽𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) ≠ ∅)
8268, 71, 72, 77, 80, 81syl32anc 1485 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) ≠ ∅)
8382ex 449 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (0 < (𝐹𝐴) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) ≠ ∅))
8483necon2bd 2948 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) = ∅ → ¬ 0 < (𝐹𝐴)))
8566, 84mpd 15 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ¬ 0 < (𝐹𝐴))
8657simprbi 483 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
8756, 86syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
88 0xr 10278 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
89 xrleloe 12170 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
9088, 59, 89sylancr 698 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
9187, 90mpbid 222 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴)))
9291adantr 472 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴)))
9392ord 391 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (¬ 0 < (𝐹𝐴) → 0 = (𝐹𝐴)))
9485, 93mpd 15 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 0 = (𝐹𝐴))
9594eqcomd 2766 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (𝐹𝐴) = 0)
9652, 95impbida 913 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  cin 3714  wss 3715  c0 4058   cuni 4588   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6813  infcinf 8512  cr 10127  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  +crp 12025  [,]cicc 12371  ∞Metcxmt 19933  ballcbl 19935  MetOpencmopn 19938  Topctop 20900  TopOnctopon 20917  clsccl 21024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-icc 12375  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027
This theorem is referenced by:  metnrmlem1a  22862  lebnumlem1  22961
  Copyright terms: Public domain W3C validator