MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdscn 22878
Description: The function 𝐹 which gives the distance from a point to a set is a continuous function into the metric topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn.c 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
metdscn.k 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
metdscn ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscn
Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metdscn.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
21metdsf 22870 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3 iccssxr 12460 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4 fss 6196 . . 3 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
52, 3, 4sylancl 566 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
6 simprr 748 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
75ad2antrr 697 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
8 simplrl 754 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑧𝑋)
97, 8ffvelrnd 6503 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ*)
10 simprl 746 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑤𝑋)
117, 10ffvelrnd 6503 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ*)
12 metdscn.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
1312xrsdsval 20004 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑤) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))))
149, 11, 13syl2anc 565 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))))
15 metdscn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
16 metdscn.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
17 simplll 750 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
18 simpllr 752 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑆𝑋)
19 simplrr 755 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
20 xmetsym 22371 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑤𝑋𝑧𝑋) → (𝑤𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑤))
2117, 10, 8, 20syl3anc 1475 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑤𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑤))
22 simprr 748 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)
2321, 22eqbrtrd 4806 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑤𝐷𝑧) < 𝑟)
241, 15, 12, 16, 17, 18, 10, 8, 19, 23metdscnlem 22877 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)) < 𝑟)
251, 15, 12, 16, 17, 18, 8, 10, 19, 22metdscnlem 22877 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤)) < 𝑟)
26 breq1 4787 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) → (((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)) < 𝑟 ↔ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) < 𝑟))
27 breq1 4787 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤)) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) → (((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤)) < 𝑟 ↔ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) < 𝑟))
2826, 27ifboth 4261 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)) < 𝑟 ∧ ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤)) < 𝑟) → if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) < 𝑟)
2924, 25, 28syl2anc 565 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) < 𝑟)
3014, 29eqbrtrd 4806 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟)
3130expr 444 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))
3231ralrimiva 3114 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))
33 breq2 4788 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑟 → ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟))
3433imbi1d 330 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑟 → (((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟) ↔ ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟)))
3534ralbidv 3134 . . . . 5 (𝑠 = 𝑟 → (∀𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟) ↔ ∀𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟)))
3635rspcev 3458 . . . 4 ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))
376, 32, 36syl2anc 565 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))
3837ralrimivva 3119 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))
39 simpl 468 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4012xrsxmet 22831 . . 3 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
4115, 16metcn 22567 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))))
4239, 40, 41sylancl 566 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))))
435, 38, 42mpbir2and 684 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  wrex 3061  wss 3721  ifcif 4223   class class class wbr 4784  cmpt 4861  ran crn 5250  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  infcinf 8502  0cc0 10137  +∞cpnf 10272  *cxr 10274   < clt 10275  cle 10276  +crp 12034  -𝑒cxne 12147   +𝑒 cxad 12148  [,]cicc 12382  distcds 16157  *𝑠cxrs 16367  ∞Metcxmt 19945  MetOpencmopn 19950   Cn ccn 21248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-ec 7897  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-icc 12386  df-fz 12533  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-topgen 16311  df-xrs 16369  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-top 20918  df-topon 20935  df-bases 20970  df-cn 21251  df-cnp 21252
This theorem is referenced by:  metdscn2  22879
  Copyright terms: Public domain W3C validator