Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdscn 22878
 Description: The function 𝐹 which gives the distance from a point to a set is a continuous function into the metric topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn.c 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
metdscn.k 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
metdscn ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscn
Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metdscn.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
21metdsf 22870 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3 iccssxr 12460 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4 fss 6196 . . 3 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
52, 3, 4sylancl 566 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
6 simprr 748 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
75ad2antrr 697 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
8 simplrl 754 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑧𝑋)
97, 8ffvelrnd 6503 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ*)
10 simprl 746 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑤𝑋)
117, 10ffvelrnd 6503 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ*)
12 metdscn.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
1312xrsdsval 20004 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑤) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))))
149, 11, 13syl2anc 565 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))))
15 metdscn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
16 metdscn.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
17 simplll 750 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
18 simpllr 752 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑆𝑋)
19 simplrr 755 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
20 xmetsym 22371 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑤𝑋𝑧𝑋) → (𝑤𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑤))
2117, 10, 8, 20syl3anc 1475 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑤𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑤))
22 simprr 748 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)
2321, 22eqbrtrd 4806 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑤𝐷𝑧) < 𝑟)
241, 15, 12, 16, 17, 18, 10, 8, 19, 23metdscnlem 22877 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)) < 𝑟)
251, 15, 12, 16, 17, 18, 8, 10, 19, 22metdscnlem 22877 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤)) < 𝑟)
26 breq1 4787 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) → (((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)) < 𝑟 ↔ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) < 𝑟))
27 breq1 4787 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤)) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) → (((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤)) < 𝑟 ↔ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) < 𝑟))
2826, 27ifboth 4261 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)) < 𝑟 ∧ ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤)) < 𝑟) → if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) < 𝑟)
2924, 25, 28syl2anc 565 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) < 𝑟)
3014, 29eqbrtrd 4806 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟)
3130expr 444 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))
3231ralrimiva 3114 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))
33 breq2 4788 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑟 → ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟))
3433imbi1d 330 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑟 → (((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟) ↔ ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟)))
3534ralbidv 3134 . . . . 5 (𝑠 = 𝑟 → (∀𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟) ↔ ∀𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟)))
3635rspcev 3458 . . . 4 ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))
376, 32, 36syl2anc 565 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))
3837ralrimivva 3119 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))
39 simpl 468 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4012xrsxmet 22831 . . 3 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
4115, 16metcn 22567 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))))
4239, 40, 41sylancl 566 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))))
435, 38, 42mpbir2and 684 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∀wral 3060  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3721  ifcif 4223   class class class wbr 4784   ↦ cmpt 4861  ran crn 5250  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  infcinf 8502  0cc0 10137  +∞cpnf 10272  ℝ*cxr 10274   < clt 10275   ≤ cle 10276  ℝ+crp 12034  -𝑒cxne 12147   +𝑒 cxad 12148  [,]cicc 12382  distcds 16157  ℝ*𝑠cxrs 16367  ∞Metcxmt 19945  MetOpencmopn 19950   Cn ccn 21248 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-ec 7897  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-icc 12386  df-fz 12533  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-topgen 16311  df-xrs 16369  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-top 20918  df-topon 20935  df-bases 20970  df-cn 21251  df-cnp 21252 This theorem is referenced by:  metdscn2  22879
 Copyright terms: Public domain W3C validator